Question

Como resolver a questão em anexo? Não posso usar o teste da divergencia pois a_n depende de a_n-1, e mesmo se pudesse, se o lim dessa sequencia desse zero, isso significaria que a sequencia converge? Ou o teste seria inconclusivo?

Answer 1

$\bullet\;\;$ Para valores naturais de $n,$ com $n \geq 1,$ temos que

$\mathrm{arctg}(1)\leq \mathrm{arctg}(n)<\dfrac{\pi}{2}\\ \\ \\ \dfrac{\pi}{4}\leq \mathrm{arctg}(n)<\dfrac{\pi}{2}$


pois a função arco-tangente é crescente.


$\bullet\;\;$ Todos os termos da série são positivos. Então, podemos usar o teste da razão para verificar a convergência da série:

$L=\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\\ \\ \\ L=\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{1}{\mathrm{arctg}(n)}\\ \\ \\ L=\dfrac{1}{\left(\frac{\pi}{2} \right )}\\ \\ \\ L=\dfrac{2}{\pi}<\dfrac{2}{3}<1.$


Logo, pelo teste da razão, a série $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_{n}}$ converge.

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Como consequência da convergência da série, temos que,

$\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;a_{n}=0.$