Question

Como resolver a integral:
$∫_{1}^{2} \: xe^{ - x^{2} + 1} \: dx$
Alguém pode me ajudar?
​

Answer 1

Olá, siga a explicação:

$\boxed { \displaystyle \int\limits^2_1 xe^{-x^{2}+1} dx }$

Integração Por Substituição:

$\boxed {u= -x^2=1} \\ \\ \\ = \displaystyle \int\limits^{-3}_0 - \dfrac{e^u}{2} du$

$\boxed { \displaystyle \int\limits^b_a f(x) dx= -\displaystyle \int\limits^a_b f(x) dx, a<b } \\ \\ \\= - \displaystyle \int\limits^0_{-3} -\dfrac{e^u}{2} du$

Remover a Constante:

$\boxed {\displaystyle \int\limits a \cdot f(x) dx= a \cdot \displaystyle \int\limits f(x) dx} \\ \\ \\= - \left ( -\dfrac{1}{2} \cdot \displaystyle \int\limits^0_{-3} e^udu \right )$

Aplicar as Regras de Integração:

$\boxed { \displaystyle \int\limits e^u du= e^u} \\ \\ \\= - \left ( - \dfrac{1}{2} [e^u]^0_{-3} \right )$

Simplifica:

$=\dfrac{1}{2} [e^u] ^0_{-3}$

Calcula os limites:

$\boxed { [e^u] ^0 _{-3} = 1- \dfrac{1}{e^3} } \\ \\ \\= \dfrac{1}{2} \left ( 1- \dfrac{1}{e^3} \right )$

Simplifica:

$\boxed { = \dfrac{e^3-1 }{2e^3} }$

• Att. MatiasHP

Engendrando o gráfico: