Question

Como resolver a integral definida de 0 a 1 de 1/(1+✓x)^4?

Answer 1

$\int\limits^1_0 \frac{dx}{ {(1 + \sqrt{x} )}^{4} }$

$u = 1 + \sqrt{x} \\ x = 0 \: u = 1 \\ x = 1 \ \: : u = 2 \\ x = {(u - 1)}^{2} \\ dx = 2(u - 1)du$

$\int\limits^1_0 \frac{dx}{ {(1 + \sqrt{x} )}^{4} } = \int\limits^2_1 \frac{2(u - 1)du}{ {u}^{4} } \\ = 2\int\limits^2_1 {u}^{ - 4} (u - 1)du$

$2\int\limits^2_1( {u}^{ - 3} - {u}^{ - 4} )du = - \frac{1}{{u}^{2} }+\frac{2}{ 3{u}^{3} } \\ u \: variando \: de \: 1 \: a \: 2$

Substituindo os limites de integração temos:

$- \frac{1}{ {2}^{2} }+\frac{2}{3. {2}^{3} } - ( - \frac{1}{ {1}^{2} }+\frac{2}{3. {1}^{3} } ) \\ - \frac{1}{4}+\frac{1}{12} + 1-\frac{2}{3} \\ = \frac{ - 3+1 + 12-8}{12}$

$= \frac{13 -11}{12} = \frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6}$

Espero ter ajudado bons estudos :)