Question

como resolver a função y= 1+sen (2x).

Answer 1

Função seno é uma função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
que varia entre 1 e -1.
Observe:
$\displaystyle \bullet \sin(0)=0\\\\\bullet \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\\\\\bullet \sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin(\pi)=0\\\\\bullet\sin\left(\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1\\\\\bullet\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{4\pi}{2}\right)=\sin(2\pi)=0$
$\displaystyle \text{Para cada meio radiano }\left(\frac{\pi}{2}\right)\text{ que colocamos -note que }\frac{\pi}{2}=90\º\text{-}\\\text{ela assume: }(0,1,0,-1,0,1...)\text{ou seja, diverge entre -1 e 1.}$
No caso da função do texto:
$f(x)=1+\sin(2x)$
Se colocarmos
$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right)=1+\sin(\pi)=1+0=1\\\\f\left(\frac{\pi}{4}\right)=1+\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=1+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+1=2$
percebemos que o fator 2 dentro da função seno mudará o valor de x e a função assumirá um valor y dependendo de como vai ficar 2*x.
Abaixo nas imagens anexadas deixarei um gráfico da função.
Seu domínio e imagens são:
$\displaystyle D_f=x\in\mathbb{R}=f\exists~\forall x\in(-\infty,\infty)\\\\I_f=y\in\mathbb{R}~|~y\in[-1,1]$
(legenda: domínio de f(x) é todo número real = f(x) existe para todo x pertencente aos números reais.
Imagem de f(x) = y pertence aos reais tal que y está no intervalo -1 até 1 fechado. (maior ou igual a menos um e menor ou igual a um)