Question

como resolver : (-3x²-6x).(x+3)≥0​

Answer 1

Vamos determinar uma função f que é o produto de outras duas, g e h, deste modo:

$f(x) := g(x)\times h(x)$

Quando queremos os valores de x tais que:

$f(x) \geq 0$

Podemos dizer que queremos:

$g(x)\times h(x)\geq 0$

E obteremos isso em 2 casos:

Quando $g(x) \geq 0$ e $h(x) \geq 0$ simultaneamente.

ou quando $g(x) \leq 0$ e $h(x) \leq 0$ também simultaneamente.

Este último em especial pois, se g e h forem ambos negativos teremos:

$k,t > 0\\\\g(x) = -k, \: h(x) = -t$

$\therefore f(x) = (-k)\times(-t) = k\times t \geq 0$

Vamos calcular os valores de x para cada um dos casos:

1° Caso:

$-3x^2-6x\geq 0 \implies -3x(x+2) \geq 0$

$-3x \geq 0 \: \: e \:\:x+2\geq0$

$x \leq 0 \:\: e\:\: x\geq -2$

$x\in [-2, 0]$

E

$x+3\geq 0 \implies x\geq -3$

$x \in [-3, +\infty)$

$\therefore [-2, 0] \cap [-3, +\infty) = [-2, 0]$

(Utilizamos a interseção entre os conjuntos de cada item pois x deve atender ambos simultaneamente.)

O primeiro caso nos diz que quando x está entre 2 e 0, f(x) é positivo.

2° Caso:

$-3x^2-6x\leq 0 \implies -3x(x+2) \leq 0$

$-3x \leq 0 \: \: e \:\:x+2\leq0$

$x \geq 0 \:\: e\:\: x\leq -2$

$x\in (-\infty , -2] \cup [0,+\infty)$

E

$x+3\leq 0 \implies x\leq -3$

$x \in (-\infty , -3]$

$\therefore \left\{(-\infty , -2] \cup [0,+\infty)\right\} \cap  (-\infty , -3] = (-\infty , -3]$

Como qualquer uma das opções para x são válidas, portanto o conjunto de x que fazem com que f(x) ≥ 0 será

$S = \{x\in \mathbb{R} : (-3x^2-6x)(x+3) \geq 0\} = (-\infty,-3]\cup[-2,0]$