Question

Como resolve logaritmo cm fração?

Answer 1

log (8/27) na base 2/3

8/27 é a mesma coisa que (2/3)³

logo

log (2/3)³ na base 2/3 é

3.log 2/3 na base 2/3

log de x na base x é 1

então

3.log 2/3 na base 2/3 = 3.1 = 3

Answer 2

Você precisa saber de 2 coisas. Primeiro, sobre logaritmo de uma fração:

$log(a*b)=log(a)+log(b) \\ log(a/b)=log(a)-log(b)$

Basicamente, "log do produto é a soma dos log", e "log da divisão é a diferença dos log".

E agora, sobre a base do logaritmo ser uma fração, você precisa saber fazer uma mudança de base. Obs: Quando escrevemos apenas log(x), sem determinar base, estamos falando do logaritmo na base 10.

$log_{b}(a)=\frac{log(a)}{log(b)}$

Ou seja, "logaritmo de a na base b = logaritmo de a na base 10 dividido por logaritmo de b na base 10". Então, também podemos fazer isso quando temos uma fração na base, veja:

$log_{\frac{a}{b}}(x)=\frac{log(x)}{log(\frac{a}{b})}$

Perceba que agora temos apenas o log de uma fração, que já aprendemos a resolver lá em cima. Sabendo disso, vamos resolver o exercício. Primeiro, irei mudar de base, depois irei transformar as frações em diferença:

$log_{\frac{2}{3}}(\frac{8}{27})=\frac{log(\frac{8}{27})}{log(\frac{2}{3})}=\frac{log(8)-log(27)}{log(2)-log(3)} = \frac{log(2^{3})-log(3^{3})}{log(2)-log(3)} \\ =\frac{3log(2)-3log(3)}{log(2)-log(3)}=\frac{3(log(2)-log(3))}{log(2)-log(3)}=3$

É menos complicado do que parece: primeiro transforma todos os logaritmos na base 10. Depois, resolve lembrando que log(a^b) = b*log(a), mais as propriedades que falei acima, e você já resolverá 99% dos exercícios de log que cair pra ti. Obs: este resultado inteiro quer dizer 8/27 é (2/3)³, mas deixo-lhe aqui o método para resolver o caso geral. Bons estudos.