Question

como resolve este problema $\frac{2}{x+2} + \frac{4}{2+2x} =20$

Answer 1

$\bullet\;\;$ Condições de existência para a equação:

Os denominadores não podem se anular. Logo, devemos ter

$\begin{array}{rcl} x+2\neq 0&\;\text{ e }\;&2+2x\neq 0\\ \\ x\neq -2&\;\text{ e }\;&2x\neq -2\\ \\ x\neq -2&\;\text{ e }\;&x\neq -1 \end{array}$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a equação dada inicialmente, respeitando as condições acima:


$\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{2+2x}=20\\ \\ \\ \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{2\cdot (1+x)}=20\\ \\ \\ \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{2}{1+x}=20$


Reduzindo o lado esquerdo ao mesmo denominador,

$\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{2}{1+x}=20\\ \\ \\ \dfrac{2\cdot (1+x)+2\cdot (x+2)}{(x+2)\cdot (1+x)}=20\\ \\ \\ \dfrac{2+2x+2x+4}{(x+2)\cdot (1+x)}=20\\ \\ \\ \dfrac{4x+6}{(x+2)\cdot (1+x)}=20\\ \\ \\ 4x+6=20\cdot (x+2)\cdot (1+x)\\ \\ 2\cdot (2x+3)=20\cdot (x+x^{2}+2+2x)\\ \\ 2\cdot (2x+3)=20\cdot (x^{2}+3x+2)$


Dividindo os dois lados da equação por $2,$ temos

$2x+3=10\cdot (x^{2}+3x+2)\\ \\ 2x+3=10x^{2}+30x+20\\ \\ 10x^{2}+30x-2x+20-3=0\\ \\ 10x^{2}+28x+17=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} a=10\\b=28\\c=17 \end{array} \right.$

$\Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=28^{2}-4\cdot 10\cdot 17\\ \\ \Delta=784-680\\ \\ \Delta=104\\ \\ \Delta=2^{2}\cdot 26\\ \\ \\ \\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ x=\dfrac{-28\pm\sqrt{2^{2}\cdot 26}}{2\cdot 10}\\ \\ \\ x=\dfrac{-28\pm 2\sqrt{26}}{2\cdot 10}\\ \\ \\ x=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot \left(-14\pm \sqrt{26} \right )}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 10}\\ \\ \\ x=\dfrac{-14\pm \sqrt{26}}{10}$

$\boxed{\begin{array}{crclc} \\ &x=\dfrac{-14-\sqrt{26}}{10}&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{-14+\sqrt{26}}{10}&\\\\ \end{array}}$