Question

Como resolve esta equação exponencial?

(1,03)^ 2x2 −5x +2 = 1

Answer 1

$\boxed{\boxed{1=a^{0}~~~para~todo~a~diferente~de~zero}}$
_______________________________

$(1,03)^{2x^{2}-5x+2}=1$

Como 1 = aº para todo a diferente de zero, podemos transformar 1 em uma potência de (1,03), para podermos igualar as bases

Como 1,03 é diferente de zero, temos que (1,03)º = 1. Portanto:

$(1,03)^{2x^{2}-5x+2}=(1,03)^{0}$

Temos bases iguais (e positivas diferentes de 1), então podemos igualar os expoentes:

$2x^{2}-5x+2=0\\\\\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-5)^{2}-4\cdot2\cdot2\\\Delta=25-16\\\Delta=9\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{9}}{2\cdot2}=\dfrac{5\pm3}{4}$

Então, as raízes dessa equação são:

$x'=\dfrac{5+3}{4}=\dfrac{8}{4}~~~~\therefore~~~~\boxed{\boxed{x'=2}}\\\\\\x''=\dfrac{5-3}{4}=\dfrac{2}{3}~~~~\therefore~~~~\boxed{\boxed{x''=\dfrac{1}{2}}}$

Answer 2

É só lembrar que, qualquer número elevado a 0 resulta em 1, então:

$(1,\!03)^{2x^2 - 5x + 2} = 1 \\ \\ (1,\!03)^{2x^2-5x + 2} = (1,\!03)^0$

Agora que as bases estão iguais, podemos cortá-las. Assim, temos uma equação do segundo grau:

$2x^2-5x + 2 = 0 \\ \\ x = \frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4.2.2} }{2.2} \\ \\ x = \frac{5\pm3}{4} \\ \\ x' = 2 \\ \\ x'' = \frac{1}{2}$

As raízes obtidas nessa equação são as raízes da equação exponencial, portanto, solução:

$S = \left \{ 2\,; \frac{1}{2} \right \}$