Question

Como resolve essas derivadas parciais (A resposta está a logo abaixo do exercício, como chegar nessa resposta?)

Answer 1

$\boxed{z= \frac{r^2+s}{s} }\\\\\\ r= 1+x\\\\s= x+y\\\\ \text{logo}$

$z= \frac{(1+x)^2+x+y}{x+y} \\\\ z= \frac{1+2x+x^2+x+y}{x+y} \\\\\boxed{z= \frac{x^2+3x+y+1}{x+y} }$

pra calcular as derivadas parciais tem que usar a regra do quociente
$\boxed{( \frac{U}{V} )= \frac{U'*V - U*V'}{V^2}}$

calculando dz/dx
derivando em relação a x 
y vira uma constante

$U = x^2+3x+y+1$

derivando U em relação a x para encontra U'
$U'= \frac{\partial U}{\partial x} = 2x+3+0+0 = \boxed{2x+3}}$

e 
$V = x+y\\\\ V'=\frac{\partial V}{\partial x}= 1$

colocando na regra do quociente
$\frac{\partial z}{\partial x}= \frac{(2x+3)*(x+y)-(x^2+3x+y+1)*1}{(x+y)^2} \\\\ \frac{\partial z}{\partial x}= \frac{2x^2+2xy+3x+3y -(x^2+3x+y+1)}{(x+y)^2} \\\\ \boxed{ \frac{\partial z}{\partial x}= \frac{x^2+2xy+2x+2y-1}{(x+y)^2} }$

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repetindo o processo pra achar dz/dy
x vira uma constante

$U = x^2+3x+y+1$
$U'= \frac{\partial U}{\partial y} = 0+0+1+0 =1$

$V = x+y\\\\ V'=\frac{\partial V}{\partial y}=0+ 1 =1$

colocando na regra do quociente 
$\frac{\partial z}{\partial y}= \frac{1*(x+y)-(x^2+3x+y+1)*1}{(x+y)^2} \\\\ \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{-x^2-2x-1}{(x+y)^2} \\\\\boxed{ \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{-(x+1)^2}{(x+y)^2} }$