Question

Como resolve ⁴√(x-1) = (1-x) ?

Answer 1

Boa noite,

⁴√( x - 1 ) = ( 1 - x )

Eleva-se a 4 , ambos os membros 

⇔ ( ⁴√( x - 1 )  ) ^ 4  = ( 1 - x ) ^ 4

nota :  ( 1 - x ) ^ 4 = ( ( 1 - x ) ² ) ²  = ( 1 - x ) ²  * ( 1  - x ) ²

⇔ x - 1  = ( 1 - x ) ²  * ( 1  - x ) ²

⇔ x - 1  = ( 1 - 2 x + x ²)   * ( 1 - 2 x + x ² ) 

⇔ x - 1 = 1 - 2 x + x ² - 2 x + 4 x ² - 2 x ³ + x ² - 2 x ³ + x^4

⇔ x - 1 =  1 - 4 x  + 6 x ² - 4 x ³ + x^4

( trocando os membros da equação não se alteram os sinais dos termos )

⇔ 1 - 4 x  + 6 x ² - 4 x ³ + x^4  =  x - 1

⇔ x^4 - 4 x ³ + 6 x ²  - 4 x +1 - x + 1 = 0

⇔ x^4 - 4 x ³ + 6 x ²  - 5 x  + 2 = 0

Repare que o polinómio no 1º membro da equação tem os coeficientes todos inteiros.
Quando assim é , pegamos nos divisores do termo independente de x, que neste caso é 2 e vamos verificar se algum deles é zero do polinómio

Divisores de 2 = { - 2 ; - 1 ; 1 ; 2 }

vamos testar  x = 2

2^4 - 4 * 2 ³ + 6 * 2 ²  - 5 * 2  + 2 = 0

16 - 32 + 24  - 10 + 2 = 0

- 42 + 42 = 0

 0 = 0             portanto x = 2  serve
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vamos testar x = 1 

1^4 - 4 * 1 ³ + 6 * 1 ²  - 5 * 1  + 2 = 0

1 - 4 + 6 - 5 + 2 = 0

- 9 + 9 = 0

 0 = 0        portanto x = 1  serve

Sabemos agora que o polinómio do primeiro membro tem dois zeros que são o 1 e o 2

Apliquemos a regra de Ruffini, duas vezes, uma para o valor 1 outra para 2

x^4 - 4 x ³ + 6 x ²  - 5 x  + 2 


       | 1     - 4        6     - 5        2
1     |  ↓      1      - 3       3      - 2
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       |  1     - 3        3      - 2     |  0 |   resto zero ;  como era de esperar
2     |           2      - 2        2
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          1     - 1        1      | 0 |     resto zero ;  como era de esperar

Com estes cálculos podemos decompor em fatores o polinómio do 1º membro da equação .
Ficando assim a equação :

( x - 1 ) * ( x - 2 ) * ( x ² - x + 1 ) = 0

Pela Lei do Anulamento de um Produto de fatores

⇔ x - 1 = 0   V   x - 2 = 0     V    x ² - x + 1 = 0

⇔ x = 1  V  x = 2   

e vamos decompor em fatores, se possível, x ² - x + 1 = 0
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Cálculos auxiliares

Δ  = 1 - 4 * 1 * 1

Δ = - 3 

como Δ  é negativo , a equação  x ² - x + 1 = 0 não tem zeros reais.
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[ vai ter zeros no Conjunto dos Números Complexos, que não serão âmbito do seu estudo atual .
Se já os estudar essas soluções de números não reais seriam

x = ( 1 + i √3) / 2   e    x = ( 1 - i √3) / 2  ]
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Resposta :
No conjunto dos números reais a equação tem dois zeros,
que são  o   1 e  o  2

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(Nota:  sinal ( * ) multiplicação ; sinal ( / )  divisão ; ( ^ ) potência  ;  ( V )  ou )              -----------------------------
Espero ter ajudado.   Ensinando devidamente o que sei. Procuro  explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.
Esforçando-me por entregar a  Melhor  Resposta  possível.
Qualquer dúvida, envie-me comentário ou mensagem. Bom estudo