Question

Como racionalizo raiz de 7 menos raiz de 2 sobre raiz de 21 menos raiz de seis?????

Answer 1

raiz
$\frac{ \sqrt{3} }{3}$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Armyl, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre procedemos em nossas respostas.

i) Pede-se para racionalizar a seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = [√(7) - √(2)] / [√(21) - √(6)]

Veja: para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por [√(21) + √(6)]. Fazendo isso, ficaremos assim:

y = [√(7)-√(2)]*[√(21)+√(6)] / [√(21)-√(6)]*[√(21)+√(6)] ----- efetuando os produtos indicados teremos (veja, que no denominador, temos o produto da soma pela diferença entre dois números: lembre-se que (a-b)*(a+b) = a²-b²):

y = [√(7)*√(21)+√(7)*√(6)-√(2)*√(21)-√(2)*√(6)] / [√(21²)-√(6²)] --- continuando o desenvolvimento, ficamos com:

y = [√(7*21)+√(7*6) - √(2*21)-√(2*6)] / [21 - 6] --- note que, no denominador, como cada radicando estava ao quadrado, então eles saíram de dentro da raiz quadrada. Continuando:

y = [√(147)+√(42) - √42) - √(12)] / 15 ---- reduzindo os termos semelhantes no numerador, ficaremos com:

y = [√(147) - √(12)] / 15

Agora note que: 147 = 7²*3 e 12 = 2²*3. Assim, substituindo-se, teremos:

y = √(7²*3) - √(2²*3)] / 15 ---- note: como o "7" e o "2" estão elevados ao quadrado, então eles saem de dentro das respectivas raízes quadradas, com o que ficaremos assim:

y = [7√(3) - 2√(3)] / 15 ---- veja que "7√(3)-2√(3) = 5√(3). Logo, teremos:
y = [ 5√(3) ] / 15 ---- simplificando-se numerador e denominador por "5", iremos ficar apenas com:

y = √(3) / 3 <--- Esta é a resposta. Ou seja: é assim que fica a sua expressão original após efetuarmos a racionalização e, depois, efetuarmos todas as simplificações possíveis.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.