Question

Como racionalizar essa expressão, quando o limite tende a 0
((√x+1)-1)/x)

Answer 1

Resposta:

ver abaixo

Explicação passo-a-passo:

oi vamos lá, racionalizando o numerador obtemos o limite ok

$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}} = \lim_{x \to 0}\frac{x+1-1}{x\cdot (\sqrt{x+1}+1) }\Rightarrow\\\\\lim_{x \to 0}\frac{x}{x\cdot (\sqrt{x+1}+1) }=\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{1}{2}$

um abração

:-))

Answer 2

Resposta:

$\lim_{x \to 0} \sqrt{x + 1} - 1 = {1 \over  \lim_{x \to 0} {\sqrt{x + 1} - 1 \over x}} }$

Explicação passo-a-passo:

$\lim_{x \to 0} {{\sqrt{x + 1} - 1} \over {x}}$

Como substituindo o valor de x por 0 chegamos a 0/0 portanto temos que é indefinido, logo realmente é preciso racionalizar. Para racionalizar faremos o seguinte:

1º Inverteremos a equação:

Obtemos então: ${x} \over {\sqrt{x + 1} - 1}$, que corresponde ao inverso do limite considerado

2º Racionalizar o Denominador

${{x} \over {\sqrt{x + 1} - 1}} * {{\sqrt{x + 1} + 1} \over {{\sqrt{x + 1} + 1}}} = {{x * (\sqrt{x + 1} + 1)}\over x + 1 - 1}$

3º Igualar as representações de limite:

Como temos x no numerador multiplicando tudo e x no denominador tambem dividindo, temos que o inverso do limite pedido é igual à

$\lim_{x \to 0} \sqrt{x + 1} - 1 = {1 \over  \lim_{x \to 0} {\sqrt{x + 1} - 1 \over x}} }$

logo o valor do limite da esquerda é igual a 2, portanto o valor do limite pedido é igual a 1/2