Question

Como que eu posso descobrir a equação da reta dado 3 pontos?
Por exemplo: Dados os pontos A( -1, 2) , B(5,4) e C(2,-8), analise as afirmações a seguir:
I- a equação da reta é 5x + 2x- 8

Answer 1

Olá!

    Você precisa de apenas 2 pontos para obter a equação da reta. Depois você apenas confirma se o terceiro ponto satisfaz à equação encontrada, ou seja, se ele está ou não na mesma reta que os outros dois.

    Uma reta tem equação da forma   $y=ax+b$   (equação reduzida), onde   $a$ fornece a inclinação (coeficiente angular) e   $b$   é o coeficiente linear (posicionamento da reta no plano cartesiano).

    Há alguns modos de se obter essa equação. 
    Observe que se os pontos   $A$  e    $B$   estão numa reta   $r$  , então suas coordenadas devem satisfazer à equação   $y=ax+b$. Daí, temos:

    $A \in r \Leftrightarrow 2 = a(-1)+b \\ \\ B \in r \Leftrightarrow 4=a(5)+b$

    Agora basta resolver o sistema de equações que encontramos para obter os valores de   $a$   e   $b$:

   $\left \{ {{b-a\; =\; 2} \atop {b+5a\; =\; 4}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b-a\; =\; 2} \atop {6a\; =\; 2}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b \; =\; 2+a} \atop {a\; =\; \frac{1}{3}}} \right. \Rightarrow b=2+\dfrac{1}{3} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow b=\dfrac{6}{3}+ \dfrac{1}{3} \Rightarrow b=\dfrac{7}{3}$


    Agora que temos os valores de   $a$   e   $b$   basta substitui-los na equação   $y=ax+b$:

    $y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{3} \Leftrightarrow y=\dfrac{x}{3}+\dfrac{7}{3}$
 

    Se quiser saber se o ponto   $C$   está na mesma reta que os outros dois pontos, basta substituir suas coordenadas na equação que encontramos e ver se é satisfeita:

   $C=(2, \; -8) \Rightarrow -8= \dfrac{x}{3}+\dfrac{7}{3} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x+7=-24 \Rightarrow x=-24-7 \Rightarrow x=-31$

   Note que para a coordenada   $y=-8$   do ponto   $C$   deveríamos ter que a sua coordenada   $x$   fosse  $2$  , o que não ocorreu quando substituímos na equação da reta que encontramos. Portanto, este ponto   $C$   não está na mesma reta que passa pelos outros dois pontos dados.


Bons estudos!