Question

como provar que [sec(x)]^2+[cossec(x)]^2=4/[sen(2x)]^2, onde sec(x) = 1/cosx, se cos(x) ≠ 0 e cossec(x) = 1/sen(x), se sen(x) ≠ 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Professorcesar, que a resolução parece ser simples.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se para provar a seguinte expressão trigonométrica:

sec²(x) + csc²(x) = 4/sen²(2x) , com cos(x) ≠ 0 e sen(x) ≠ 0

ii) Antes veja que:

ii.a) sec(x) = 1/cos(x), para cos(x) ≠ 0 . Logo, com essa mesma restrição, teremos que:

sec²(x) = 1/cos²(x)      . (I)

ii.b) csc²(x) = 1/sen(x), para sen(x) ≠ 0. Logo, com essa mesma restrição, teremos que:

csc²(x) = 1/sen²(x)       . (II).

ii.c) Finalmente note que:

sen(2x) = 2sen(x).cos(x) ----- note que se elevarmos "sen(2x)" ao quadrado, iremos ter o seguinte resultado:
 
sen²(2x) = 4sen²(x).cos²(x)      . (III)

iii) Tendo, portanto, as relações acima como parâmetro, inclusive as restrições de que sen(x) e cos(x) são DIFERENTES de zero, vamos à sua questão, que é esta:

sec²(x) + csc²(x) = 4/sen²(2x).

Veja: vamos partir do 1º membro para chegarmos ao segundo. Então vamos trabalhar com o 1º membro, que vamos chamá-lo de um certo "y", apenas para deixá-lo igualado a alguma coisa. Assim teremos:

y = sec²(x) + csc²(x) ----- observando as restrições já vistas antes e o que contém nas expressões (I) e (II), então poderemos escrever que o equivalente à expressão "y" acima será isto:

y = 1/cos²(x) + 1/sen²(x) ----- mmc = sen²(x).cos²(x). Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

y = [sen²(x)*1 + cos²(x)*1]/[sen²(x).cos²(x)] ----- desenvolvendo, teremos:
y = [sen²(x) + cos²(x)] / [sen²(x).cos²(x)]

Agora note que no numerador, pela primeira relação fundamental da trigonometria, temos que: sen²(x) + cos²(x) = 1. Então substituiremos o numerador da nossa expressão "y" por "1", com o que ficaremos assim:

y = 1 / [sen²(x).cos²(x)]

Agora note mais isto e não esqueça mais: numa divisão, poderemos multiplicar numerador e denominador por um mesmo número e o resultado não se altera. Então vamos multiplicar, na nossa expressão "y" acima, numerador e denominador por "4", com o que ficaremos assim:

y = 4*1 / [4*sen²(x).cos²(x)] --- ou apenas:
y = 4 / [4sen²(x).cos²(x)] ---- mas veja que, conforme a nossa expressão (III), já vimos que 4sen²(x).cos²(x) = sen²(2x). Então vamos substituir o denominador da nossa expressão "y" acima por "sen²(2x)". Fazendo isso, teremos que:

y = 4 / sen²(2x) <--- Pronto. Chegamos ao que queríamos demonstrar, ou seja, conseguimos demonstrar que sec²(x) + csc²(x) = 4/sen²(2x), observando-se as restrições dadas, que foram: sen(x) ≠ 0 e cos(x) ≠ 0.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.