Question

Como procedo para calcular limites que resultam em algo do tipo ∞ elevado à zero ?

Como no seguinte exemplo a ser resolvido:
$\lim_{x \to \infty} (x^{2}+1) ^{\frac{1}{ln(x)} }$
(Limite quando x tende à infinito de {(x quadrado mais um) elevado à (1 sobre ln de x)}

Answer 1

Para responder a questão deve-se eliminar ou contornar a indeterminação sem alterar a igualdade da formula, a formula descrita é y = (x^2+1)^{(1/ln x)}, podemos tirar o ln de ambos os lados para ver no que da (sim, algumas vezes é tentativa e erro)

lny = ln((x^2+1)^{(1/ln x)}), pela propriedade logarítmica, passamos o (1/lnx) multiplicando e fica assim lny = (1/(lnx))ln(x^2+1) ou assim

lny = ln(x^2+1)/lnx

agora podemos aplicar a regra de L'Hopital derivando o numerador e o denominador separadamente ficando assim lny = (2x/(x^2+1))/(1/x) = lny = 2x^2/(x^2+1) , se possível, podemos aplicar L'Hopital novamente e temos lny = 4x/2x = lny = 2 , também podemos chegar nesse mesmo resultado multiplicando o numerador e o denominador da equação  lny = 2x^2/(x^2+1) por 1/x^2 para eliminar o x do numerador  

lny = 2x^2(1/x^2)/((x^2+1)(1/x^2)) ficando assim lny = 2/(1+1/x^2) agora basta aplicar o conceito de infinito no x e o resultado fica assim lny = 2/(1+1/∞^2)  como 1/∞ tende a 0 podemos substituir por 0 e fica assim lny = 2/(1+0) e temos novamente lny = 2, elevando por "e" ambos os lados para remover o ln temos e^{lny^} = e^{2} e por fim temos a resposta y = e². Lembre-se, L'Hopital nem sempre funciona, as vezes tem que ser na tentativa e erro, como no segundo caso podemos resolver sem ou com L'Hopital, mas nem sempre é assim.