Question

Como proceder quando há no logaritmando e na base uma incógnita?
ex: log (x^2 + 7) = 2
x+1
(x+1 é a base)

Answer 1

O procedimento é aplicar a definição de base e de logaritmando.

A base deve ser maior que 0 e diferente de 1.
O logaritmando deve ser maior que 0.

Tomando o exemplo:

Para a base:

$x+1>0\\ \\ \boxed{x>-1}$

$x+1\neq1\\ \\ \boxed{x\neq0}$

Para o logaritmando:

$\boxed{x^2+7 \ \textgreater \ 0}$


Agora, resolvendo:

$log_{(x+1)}~(x^2+7) = 2\\ \\ (x+1)^2 = (x^2+7)\\ \\ x^2+2x+1=x^2+7\\ \\ 2x=7-1\\ \\ 2x=6\\ \\ \large{\boxed{x=3}}$

Voltando:

Base
$x\ \textgreater \ -1\\ \\ \boxed{3\ \textgreater \ -1}$

$x\neq0\\ \\ \boxed{3\neq0}$

Logaritmando

$x^2+7\ \textgreater \ 0\\ \\ 3^2+7\ \textgreater \ 0\\ \\ \boxed{16\ \textgreater \ 0}$

Como tudo deu certo, tomamos 3 como a solução do exercício.