Question

Como prêmio pela vitória em uma competição, serão distribuídas 12 moedas de ouro idênticas entre três pessoas da equipe vencedora, e cada uma deverá receber, pelo menos, 2 moedas. O número de maneiras distintas de efetuarmos essa distribuição é:A) 12B) 28C) 38D) 40E) 120

Answer 1

=> Temos 12 moedas iguais (não distintas) para distribuir por 3 atletas

..única restrição: cada um deve receber, pelo menos, 2 moedas

=> Por outras palavras e "fixando" já 2 moedas em cada um dos atletas o que pretendemos saber é de quantas formas podemos distribuir as restantes 6 moedas

Note que a distribuição das restantes 6 moedas não tem qualquer restrição

Isto equivale a dizer que a distribuição pode ser de (6+0+0) ...até (0+0+6)

E pronto estamos numa área especifica de Análise Combinatória que é o cálculo de:

"número de soluções inteiras e não negativas de uma equação linear"

Temos 3 incógnitas (atletas) ..e 6 moedas (idênticas) para distribuir donde resultará a equação linear:

x + y + z = 6 ..definida em termos de "Combinatória" por C[(n+b-1),(b)]

cuja fórmula de cálculo é:

C[(n+b-1),(b)] = (n+b-1)!/b!(n-1)!

onde

n = número de incógnitas (atletas), neste caso n = 3

b = valor da soma das incógnitas (número de moedas), neste caso b = 6

Resolvendo:

C[(n+b-1),(b)] = (n+b-1)!/b!(n-1)!

substituindo..

C[(3+6-1),(6)] = (3+6-1)!/6!(3-1)!

C(8,6) = 8!/6!2!

C(8,6) = 8.7.6!/6!2!

simplificando o fatorial

C(8,6) = 8.7/2!

C(8,6) = 56/2

C(8,6) = 28 <= número de soluções inteiras e não negativas para distribuir as 6 moedas restantes

Resposta correta: Opção - b) 28

Espero ter ajudado