Question

Como posso resolver essa integral?
$\int\limits {\frac{1}{\sqrt{4x-x^2} } } \, dx$

Answer 1

$\mathtt{4x-{x}^{2}=-({x}^{2}-4x)}\\\mathtt{-({x}^{2}-4x+4-4)}\\\mathtt{-({x}^{2}-4x+4)-1(-4)}\\\mathtt{-{(x-2)}^{2}+4}$

$\mathtt{u=x-2\to\,du=dx}\\\mathtt{-{(x-2)}^{2}+4=4-{u}^{2}}$

$\displaystyle \mathtt{\int\dfrac{1}{\sqrt{4x-{x}^{2}}}dx} = \displaystyle\mathtt{\int\dfrac{du}{ \sqrt{4 - {u}^{2} } } }$

Integral que produz função trigonométrica inversa

$\displaystyle\mathtt{\int\dfrac{dt}{\sqrt{{a}^{2}-{t}^{2}}} = arcsen( \dfrac{t}{a} )}$

$\displaystyle\mathtt{\int\dfrac{du}{ \sqrt{4 - {u}^{2} } } = arcsen( \dfrac{u}{2} ) + k}$

$\displaystyle \mathtt{\int\dfrac{1}{\sqrt{4x-{x}^{2}}}dx} = \\\mathtt{arcsen( \frac{x - 2}{2} ) + k}$

Answer 2

Resposta:

∫ 1/√(4x-x²) dx

4x-x² =2²-2² +4x-x² =4 -(2²-4x+x²) =4-(2-x)²=4-(x-2)²

∫ 1/√(4-(x-2)²) dx

Fazendo u =x-2 ==>du=dx

∫ 1/√(4-u²) du

∫ 1/√4(1-u²/4) du

∫ 1/2√(1-u²/4) du

(1/2) *∫ 1/√(1-u²/4) du

Fazendo k=u/2  ==>dk =(1/2) * du

(1/2) *∫ 1/√(1-k²) 2 * dk

∫ 1/√(1-k²) dk

Fazendo k= sen(s)  ==> dk= cos(s) ds

∫ 1/√(1-sen²(s)) * cos(s) ds

Sabemos que cos²(s)+sen²(s)= 1 ==>cos²(s)=1-sen²(s)

∫ 1/√(cos²(s)) * cos(s) ds

∫ 1/(cos(s) * cos(s) ds

∫ ds = s +constante

Como k= sen(s) ==> s= arsen(k)

= arcsen(k)  +constante

Como k=u/2

= arcsen(u/2)  +constante

Como u =x-2

= arcsen((x-2)/2)  +constante

∫ 1/√(4x-x²) dx   = arcsen((x-2)/2)  +constante