como posso resolver essa equacao:
x² + x – 3 = 0.
Soluções para a tarefa
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
RESOLUÇÃO:
OBSERVAÇÃO 1: Na resolução, será considerado como conjunto universo o conjunto dos números reais (R), em virtude de nada haver sido explicitado a respeito disso pelo enunciado. Em virtude disto, se o discriminante (Δ) resultar em valor negativo, não serão indicadas raízes no conjunto dos números complexos.
(I)Determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:
1.x² + 1.x - 3 = 0 (Veja a Observação 2.)
a.x² + b.x + c = 0
Coeficientes: a = 1, b = 1, c = (-3)
OBSERVAÇÃO 2: Quando o coeficiente for 1, ele pode ser omitido, pois está subentendido. No caso de coeficiente -1, pode-se escrever apenas o sinal de negativo (assim, em vez de -1.x, tem-se -x).
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(II)Cálculo do discriminante, utilizando-se dos coeficientes:
Δ = b² - 4 . a . c
Δ = (1)² - 4 . (1) . (-3) ⇒
Δ = 1 - 4 . (1) . (-3) ⇒ (Veja a Observação 3.)
Δ = 1 - 4 . (-3) ⇒ (Veja a Observação 4.)
Δ = 1 + 12 ⇒
Δ = 13
OBSERVAÇÃO 3: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam em sinal de negativo (-).
OBSERVAÇÃO 4: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).
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(III)Aplicação da fórmula de Bhaskara, utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:
x = (-b +- √Δ) / 2 . a ⇒
x = (-(1) +- √13) / 2 . (1) ⇒
x = (-1 +- √13) / 2 ⇒ x' = (-1 + √13) / 2
x'' = (-1 - √13) / 2
Resposta: Os valores de x são (-1+√13)/2 e (-1-√13)/2.
Outras maneiras, porém mais formais, de indicar a resposta:
- S={x E R / x = (-1-√13)/2 ou x = (-1+√13)/2} (leia-se "o conjunto-solução é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a menos um menos raiz quadrada de treze dividido por dois ou x é igual menos um mais raiz quadrada de treze dividido por 2.") ou
- S={(-1-√13)/2, (-1+√13)/2} (leia-se "o conjunto-solução é constituído pelos elementos menos um menos raiz quadrada de treze dividido por dois ou x é igual a menos um mais raiz quadrada de treze sobre dois.")
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo x' = (-1+√13)/2 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
1.x² + 1.x - 3 = 0 ⇒
1 . ((-1 + √13)/2)² + 1 . ((-1 + √13)/2) - 3 = 0 ⇒
1 . ((-1)² + 2.(-1).√13 + (√13)²/2²) + ((1 + √13)/2) - 3 = 0 ⇒
1 . ((1 - 2.√13 + 13)/4) + ((-1 + √13)/2) - 3 = 0 ⇒
((1 - 2.√13 + 13)/4) + ((-1 + √13)/2) - 3 = 0 ⇒
((14 - 2.√13)/4) + ((-1 + √13)/2) - 3 = 0 (O m.m.c entre 4, 2 e 1 é 4.)
1.(14-2.√13)/4 + 2.((-1+√13)/2) - 4.3 ⇒
(14 - 2.√13)/4 + ((-2 + 2√13)/4) - 12/4 ⇒
(14 - 2.√13 - 2 + 2√13 - 12)/4 = 0 ⇒
(12 - 2.√13 + 2√13 - 12)/4 = 0 ⇒
(-2.√13 + 2√13)/4 = 0 ⇒
0 = 0 (Provado que x = (-1+√13)/2 é solução da equação.)
→Substituindo x' = (-1-√13)/2 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
1.x² + 1.x - 3 = 0 ⇒
1 . ((-1 -√13)/2)² + 1 . ((-1 - √13)/2) - 3 = 0 ⇒
1 . ((-1)² - 2.(-1).(-√13) + (-√13)²/2²) + ((-1 - √13)/2) - 3 = 0 ⇒
1 . ((1 - 2.√13 + 13)/4) + ((-1 - √13)/2) - 3 = 0 ⇒
((1 + 2.√13 + 13)/4) + ((-1 - √13)/2) - 3 = 0 ⇒
((14 + 2.√13)/4) + ((-1 - √13)/2) - 3 = 0 (O m.m.c entre 4, 2 e 1 é 4.)
1.(14 + 2.√13)/4 + 2.((-1 - √13)/2) - 4.3 ⇒
(14 + 2.√13)/4 + ((-2 - 2√13)/4) - 12/4 ⇒
(14 + 2.√13 - 2 - 2√13 - 12)/4 = 0 ⇒
(12 + 2.√13 - 2√13 - 12)/4 = 0 ⇒
(+2.√13 - 2√13)/4 = 0 ⇒
0 = 0 (Provado que x = (-1-√13)/2 é solução da equação.)
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