Question

Como posso fazer?//Esboce o gráfico (Caneta e papel), no MESMO PLANO CARTESIANO, das seguintes funções. Calcule f(x) e g(x), em que x é o dia do seu aniversário e identifique esses pontos no gráfico.

Answer 1

Ver gráficos nos respetivos anexos.

a)

f(x) = ln (x)       Gráfico em anexo 1

Este logaritmo é chamado de logaritmo de base "e".

"e" , número de Nepper = 2,71828182...

Como a base "e" é uma dízima infinita, para calcular logaritmos nesta

base terá de ter uma calculadora a seu lado.

Sabemos três fatos em relação a logaritmos.

1º → Seu domínio é $R^+$ ( reais positivos )

2º → Logaritmo de 1, em qualquer base é zero

Assim já tem um ponto A = ( 1 ; 0 )

3º O conjunto imagem de uma função logarítmica é |R ( números reais )

 

Vou calcular vários pontos para o gráfico.

Dois pontos ( B e C )com valor de x entre  0 e 1 .

Três pontos (E ; F ; G ) com coordenada em x , maior que 1

A = (1 ; 0 )

B = ( 1/2 ;  - 0,69314718... )

C = ( 1/4 ;  - 1,38629436... )

E = ( 2 ;  0,69314718... )

F = (4 ;   1,38629436... )

G = ( 8 ;  2,07944154... )      

b)

$f(x) = log_{\frac{1}{16} } (x)$       Gráfico em anexo 2

Observação 1 → Logaritmo de um número

Logaritmo de "a" na base "b" = x    ,  

$log_{b} (a)=x...o...mesmo...que..a=b^x$

Observação 2  → A função logarítmica , estudo da monotonia

Se a base  estiver entre 0 e 1 , sem os incluir, a função é decrescente.

Se a base for maior do que 1 a função é crescente.

Já se viu que quando a base é " e " = 2,71828182... logo maior que 1, a

função é crescente.

Pontos para o gráfico de b)

$log_{\frac{1}{16} } (1)=0$

A ( 1 ; 0 )

x = 16

$log_{\frac{1}{16} } (16)$

⇔

$16=(\dfrac{1}{16}) ^{x}$

Observação 3  → Mudança de sinal no expoente de um potência

Primeiro inverte-se o valor na base da potência, depois muda-se o

sinal ao expoente.

Exemplo:

$\dfrac{1}{16} =(\dfrac{1}{16})^1=(\dfrac{16}{1} )^{-1} =16^{-1}$  

$log_{\frac{1}{16} } (16)=c$

$16=(\dfrac{1}{16})^c$

$16=((\frac{16}{1}) ^{-1}) )^c$

$(\dfrac{16}{1}) ^{(-1*c)}$

$16^1=16^{-c}$

Duas potências com a mesma base são iguais se os seus expoentes

forem iguais

c = - 1    esta é  coordenada em y , quando x = 16

B = ( 16 ; - 1 )

x = 1/2

$log_{\dfrac{1}{16} } (\dfrac{1}{2} )=d$

$\dfrac{1}{2} =(\dfrac{1}{16} )^d$

$\dfrac{1}{2} =(\dfrac{1}{2^4} )^d$  

$\dfrac{1}{2} =((\dfrac{1}{2} )^4)^d$

$(\dfrac{1}{2})^1 =(\dfrac{1}{2} )^4^d$

4d = 1

d  = 1/4

$C=( \dfrac{1}{2} ;\dfrac{1}{4} )$              

Observação 4  → Potência de potência

Mantém-se a base, multiplicam-se os expoentes

Exemplo:

$(\dfrac{16}{1}) ^{(-1*c)}$

Observação 5 →  Gráfico da função logarítmica

Estes gráficos , na sua esquerda, aproximam-se do eixo y, mas nunca lhe

tocam.

Bons estudos.

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( / ) divisão  

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.