Question

como posso demonstrar esse binômio
(n/n) + ( n + 1/n) + (n + 2/n) +...+ (n + k/n) = n + k + 1/n + 1)

Answer 1

Pretendemos mostrar que:

$\displaystyle{n\choose n} + {n+1 \choose n} + {n+2 \choose n} + \dots + {n+k \choose n} = \sum_{m = 0}^k {n+m\choose n} \overset{?}{=} {n+k+1\choose n+1}$

Procedemos por indução. Começamos por provar que a propriedade é válida para $k = 0$:

$\displaystyle \sum_{m = 0}^0 {n+m\choose n} = {n\choose n} = 1 = {n+1\choose n+1} = {n+0+1\choose n+1}.$

Passamos agora ao passo indutivo. Admitindo que a propriedade é válida para $k$, provamos que é válida para $k+1$:

$\displaystyle \sum_{m = 0}^{k+1} {n+m\choose n} = \displaystyle \sum_{m = 0}^{k} {n+m\choose n} + {n+k+1\choose n} = {n+k+1\choose n+1} + {n+k+1\choose n}.$

Aplicamos agora a propriedade:

$\displaystyle {n\choose k} + {n\choose k+1} = {n+1 \choose k+1},$

que se obtém da regra de construção do triângulo de Pascal. Tem-se então:

$\displaystyle {n+k+1\choose n+1} + {n+k+1\choose n} = {(n+k+1)+1\choose n+1} = {n+(k+1)+1\choose n+1},$

o que corresponde à propreidade para $k +1$, concluindo então a prova por indução.

Nota:

Provamos ainda a propriedade de constução. Por definição de combinação, tem-se:

$\displaystyle {n\choose k} + {n\choose k+1} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} + \dfrac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}.$

Tendo em conta a recursividade do fatorial, vem:

$\dfrac{n!}{k!(n-k)!} + \dfrac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)(n-k-1)!} + \dfrac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}.$

Fatorizando a expressão, obtém-se:

$\dfrac{n!}{k!(n-k-1)!}\times \left(\dfrac{1}{n-k} + \dfrac{1}{k+1}\right).$

Juntando as frações, tem-se:

$\dfrac{n!}{k!(n-k-1)!}\times \dfrac{k+1+n-k}{(n-k)(k+1)} = \dfrac{(n+1)n!}{(k+1)k!(n-k)(n-k-1)!}.$

Voltando a aplicar a recursividade do fatorial, vem:

$\dfrac{(n+1)n!}{(k+1)k!(n-k)(n-k-1)!} = \dfrac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} = \dfrac{(n+1)!}{(k+1)![(n+1)-(k+1)]!}.$

Finalmente, reconhecemos que se trata de definição de combinações de $n+1$ elementos tomados $k+1$ a $k+1$:

$\displaystyle{n+1\choose k+1} = \dfrac{(n+1)!}{(k+1)![(n+1)-(k+1)]!}.$

Fica assim provado que:

$\displaystyle {n\choose k} + {n\choose k+1} = {n+1\choose k+1}.$

Answer 2

Resposta:

nao entendi essa poderia me explicar

Explicação passo-a-passo: