Question

Como obter a lei de associação de uma função quadrática através do vértice da parábola e de outro ponto? ( Segue foto do problema)

Answer 1

A lei de associação da função f cujo gráfico é a parábola de vértice V representada abaixo é y = x² - 2x + 5.

De acordo com o gráfico, temos que o vértice da parábola é V = (1,4). Além disso, temos um ponto pertencente à parábola que vou denominar por P = (3,8).

Sabemos que uma função do segundo grau é da forma y = ax²+ bx + c.

Então, substituindo o ponto P na função acima, obtemos:

3²a + 3b + c = 8

9a² + 3b + c = 8.

Além disso, o vértice da parábola é definido por: $V=(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$.

Sendo assim,

$-\frac{b}{2a} = 1$

b = -2a

e

$-\frac{(b^2-4ac)}{4a}=4$

-b² + 4ac = 16a

Como b = -2a, então:

9a + 3(-2a) + c = 8

9a - 6a + c = 8

3a + c = 8

c = 8 - 3a.

Substituindo os valores de b e c na equação -b² + 4ac = 16a:

-(-2a)² + 4a.(8 - 3a) = 16a

-4a² + 32a - 12a² = 16a

-16a² + 16a = 0

-a² + a = 0

a(-a + 1) = 0

a = 0 ou a = 1.

Como a função é do segundo grau, então a não pode ser 0. Logo, a = 1.

Por consequência, b = -2 e c = 5.

Portanto, y = x² - 2x + 5.