Question

Como foi obtida a fórmula geral das equações de 2° grau?​

Answer 1

obtenção da fórmula de segundo grau, também conhecida como fórmula de Bhaskara, pode ser feita por um método chamado de método de completar quadrados.

o método de completar quadrados consiste do uso de alguns truques algébricos que permite escrever uma parte da equação de segundo grau como um um produto notável.

seja a equação de segundo grau $ax^2+bx+c=0$

o primeiro passo que vamos efetuar dividir a equação por a:

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$

fazemos isto porque queremos escrever parte desta equação como um produto notável na forma $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ e, como pode ser visto, o a multiplicando x nos atrapalha.

o próximo passo consiste em notar a seguinte semelhança:

a equação

$(x+\dfrac{b}{2a})^2=x^2+\dfrac{b}{a} +\dfrac{b^2}{4a^2}$ tem alguns termos iguais aos da equação

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$

os termos que são iguais é a expressão $x^2+\dfrac{b}{a}$.

Então, se escrevermos

$(x+\dfrac{b}{2a})^2=x^2+\dfrac{b}{a} +\dfrac{b^2}{4a^2}$ como

$x^2+\dfrac{b}{a}=(x+\dfrac{b}{2a})^2 -\dfrac{b^2}{4a^2}$

poderemos substituir o lado esquerdo na equação

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$

fazendo isto teremos na nova igualdade

$(x+\dfrac{b}{2a})^2 -\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0$

rearranjando a fórmula podemos então ver que

$(x+\dfrac{b}{2a})^2= \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}\\\\\\(x+\dfrac{b}{2a})^2 =\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\\\\\\ x=-\dfrac{b}{2a})^2\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\\\x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

e assim foi obtida a fórmula de Bhaskara.