Question

Como fazer passo a passo? $\lim _{x\to 0}\left(\frac{e^{8x}-1}{x}\right)$

Answer 1

Olá.

Se substituirmos diretamente o valor zero, teremos uma indeterminação do tipo 0/0 , e isso não é legal.

A saída é aplicarmos a Regra de L'Hôspital. Isto é, o limite dado, com a indeterminação pode ter seu numerador e denominador derivamos e o limite será o mesmo.

$\mathsf{\displaystile\lim_{x\to0}\dfrac{e^{8x}-1}{x} = \displaystile\lim_{x\to0}\dfrac{8e^{8x}-1}{1}}=\\ \\ \\ =\mathsf{\displaystyle\lim_{x\to0}8e^{8x} = 8e^{8\lim_{x\to0}x } = 8e^0 = 8}$

Logo,

$\boxed{\mathsf{\lim_{x\to0}\frac{e^{8x}-1}{x}=8}}$

========

Sem usar derivadas:

Façamos a mudança de variável: u = 8x. Logo, x = u/8 e, quando x→ 0, u → 0.

O limite se reescreve como:

$\mathsf{lim_{u\to0} \dfrac{e^u - 1}{\frac{u}{8}} = 8\lim_{u\to0} \dfrac{e^u-1}{u}}$

O limite mostrado é fundamental e vale 1 quando u → 0, logo, ficamos com:

$\mathsf{8\lim_{u\to0} \dfrac{e^u-1}{u}} = 8.1 = 8}$

Bons estudos :)