Question

como faz essa questão?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\int\limits^1_0{6x^{2}(x^{3}+2)^{2}}\, dx$

remova a constante 6 para fora da integral

$6\int\limits^1_0{x^{2}(x^{3}+2)^{2}}\, dx$

desenvolva a expressão (x³ + 2)², quadrado da soma

$(x^{3}+2)^{2}=x^{6}+4x^{3}+4$

substitua

$6\int\limits^1_0{x^{2}(x^{6}+4x^{3}+4)}\, dx$

multiplique pela distributiva

$x^{2}(x^{6}+4x^{3}+4)=x^{8}+4x^{5}+4x^{2}$

substitua

$6\int\limits^1_0{x^{8}+4x^{5}+4x^{2}}\, dx$

isole cada termo em integrais

$6(\int\limits^1_0{x^{8}}\, dx+\int\limits^1_0{4x^{5}}\, dx +\int\limits^1_0{4x^{2}}\, dx)$

remova as constantes para fora das integrais

$6(\int\limits^1_0{x^{8}}\, dx +4\int\limits^1_0{x^{5}}\, dx +4\int\limits^1_0{x^{2}}\, dx)$

em cada integral, aplicar a regra da potência

    $\int\limitsab {x^{a}}\, dx=\frac{x^{a+1}}{a+1},x\neq -1$

então

$6[\frac{x^{8+1}}{8+1}+4\frac{x^{5+1}}{5+1}+4\frac{x^{2+1}}{2+1}]_{0}^{1}$

$6[\frac{x^{9}}{9}+\frac{4}{6}x^{6}+\frac{4}{3}x^{3}]^{1} _{0}$

$6[\frac{x^{9}}{9}+\frac{2}{3}x^{6}+\frac{4}{3}x^{3}]_{0}^{1}$

agora, substitua os limites 1 e 0 nos x da expressão, começando com o

1. Do resultado do limite 1, subtraia com o do resultado do limite 0

$6[(\frac{1^{9}}{9}+\frac{2}{3}.1^{6}+\frac{4}{3}.1^{3})-(\frac{0^{9}}{9}+\frac{2}{3}.0^{6}+\frac{4}{3}.0^{3})]$

$6[(\frac{1}{9}+\frac{2}{3}+\frac{4}{3})-(0+0+0)]$

$6[\frac{19}{9}-0]=6.\frac{19}{9}=2.\frac{19}{3}=\frac{38}{3}$

Resposta:  $\frac{38}{3}$