Question

Como fatorar x^2-x+6?

Answer 1

Olá!
 
    Note que esse polinômio não admite raízes reais. Então, ou você o fatora efetuando a divisão por algum outro polinômio e somando com o resto, ou então utilizando números complexos. Vou fazer os dois casos aqui:

Vou dividi-lo por (x-2) (pode tentar fazer com outro polinômio qualquer de grau menor ou igual a 2 e seguir o mesmo raciocínio). Temos

$(x^2-x+6)\div(x-2)= \dfrac{x^2-x+6}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+1)+8}{x-2}=\\ \\= \dfrac{(x-2)(x+1)}{x-2}+\dfrac{8}{x-2}=(x+1)+\dfrac{8}{x-2}$

Observe que efetuando a divisão acima, obtemos o quociente (x+1) e resto 8.

Agora utilizando os números complexos:

$x^2-x+6=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2}=\\ \\ =\dfrac{1\pm \sqrt{-23}}{2}=\dfrac{1\pm \sqrt{23}\cdot \sqrt{-1}}{2}= \\ \\ = \dfrac{1+i\sqrt{23}}{2}\;\; ou\;\;\dfrac{1-i\sqrt{23}}{2}\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{23}}{2}i\;\;ou\;\;x= \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{23}}{2}i \\ \\ \therefore \\ \\ x^2-x+6= \left[x-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{23}}{2}i\right)\right]\cdot \left[x-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{23}}{2}i \right)\right]$

Bons estudos!