Question

como fatorar este polinômio x³+6x²+11x+6.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jusanches, que parece que a fatoração vai ser possível pois veja que "-1" é uma das raízes da equação dada, pois se você substituir por "-1" o "x" da função dada [f(x) = x² + 6x² + 11x + 6] , vai ver que a função zerará. E quem faz qualquer equação zerar são suas raízes, pois toda raiz zera a função da qual ela é raiz. Logo "-1" será uma das raízes da função dada.

i) Então veja: se "-1" é uma raiz da função dada, então o polinômio p(x) = x³ + 6x² + 11x + 6 será divisível por (x-(-1)) = (x+1). Então vamos fazer a divisão de p(x) = x³ + 6x² + 11x + 6 por d(x) = x + 1 pela forma tradicional, que é esta:

x³ + 6x² + 11x + 6 |_ x + 1 _ <--- divisor

................................ x² + 5x + 6 <--- quociente

-x³ - x²

---------------------------

0 + 5x² + 11x + 6

....- 5x² - 5x

---------------------------------

........0 + 6x + 6

...........- 6x - 6

------------------------

............0......0 <--- Resto. Veja que tinha que ser zero mesmo, pois toda equação é divisível por sua raiz.

ii) Assim, como você viu, ficamos com o quociente

x² + 5x + 6 ---- agora vamos encontrar as raízes desse quociente e teremos as demais raízes da função original. Assim, para encontrar as raízes do quociente encontrado, vamos igualá-lo a zero. Assim faremos:

x² + 5x + 6 = 0 ---- note que se você aplicar Bháskara vai encontrar que as raízes do quociente acima são estas:

x' = - 2 e x'' = - 3.

iii) Agora veja isto e não esqueça mais: toda equação de qualquer grau poderá ser fatorada em função de suas raízes. Então uma equação do 3º grau, da forma ax³ + bx² + cx + d = 0, com raízes iguais a x', x'' e x''' poderá ser fatorada do seguinte modo em função de suas raízes:

ax³ + bx² + cx + d = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''').

iv) Logo, considerando a função do 3º grau da sua questão [x³+6x²+11x+6 = 0], cujas raízes já encontramos que são: x' = -1; x'' = -2 e x''' = - 3, então ela será fatorada da seguinte forma:

x³ + 6x² + 11x + 6 = 1*(x-(-1))*(x-(-2))*(x-(-3))

x³ + 6x¹ + 11x + 6 = 1*(x+1)*(x+2)*(x+3) ---- note que o "1" que está antes é o termo "a" que, na equação da sua questão é igual a "1" (que é o coeficiente de x³).

Logo, a forma fatorada da sua questão é esta:

x³ + 6x² + 11x + 6 = (x+1)*(x+2)*(x+3) <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a forma fatorada da equação da sua questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.