Matemática, perguntado por crisss1996, 1 ano atrás

COMO FACO UMA MATRIZ INVERSA

Soluções para a tarefa

Respondido por Danndrt
3
Há diferentes formas para se encontrar uma matriz inversa. Um dos métodos é utilizando a matriz identidade. Para isso basta saber que, se multiplicarmos qualquer matriz pela sua inversa, obteremos a matriz identidade. (Observe que uma matriz terá inversa se for quadrada e se seu determinante for diferente de zero). Exemplo

Seja A uma matriz quadrada de ordem 2: 

A =   \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]

Vamos chamar de  A^{-1} a matriz inversa de A

 A^{-1}  =   \left[\begin{array}{cc}a'&b'\\c'&d'\\\end{array}\right]

Por definição, A .  A^{-1}  = I, sendo I, a matris identidade da mesma ordem da matriz em questão, no nosso exemplo será de ordem 2. 

Uma matriz identidade é aquela onde os termos da diagonal principal é igual a 1 e os outros termos são iguais a zero. Então a matriz identidade de ordem 2 será:

I =   \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]

Então, se fizermos  A . A^{-1} = I teremos:

\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] .  \left[\begin{array}{cc}a'&b'\\c'&d'\\\end{array}\right]  = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]

Assim, conseguimos determinar a matriz inversa fazendo a multiplicação das duas primeiras matrizes, e igualando à matriz identidade para descobrir a', b', c' e d', que são os coeficientes da matriz identidade. 

Exemplo, amos encontrar a matriz inversa de A = \left[\begin{array}{cc}1&2\\0&3\\\end{array}\right]

Por definição sabemos que se eu fizer:

\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&3\\\end{array}\right]  . \left[\begin{array}{cc}a'&b'\\c'&d'\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]

conseguirei encontrar a matriz inversa:

\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&3\\\end{array}\right] . \left[\begin{array}{cc}a'&b'\\c'&d'\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]  \\  \\ 
 \left[\begin{array}{cc}a'+2c'&b'+2d'\\3c'&3d'\\\end{array}\right] =  \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]

Vamos igualar os coeficientes:

\left[\begin{array}{cc}a'+2c'&b'+2d'\\3c'&3d'\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right] \\  \\ a'+2c' = 1 \\ 3c' = 0 \\  \\ c' = 0/3 \\ c' = 0 \\  \\ a'+2c' = 1 \\ a' + 2 . 0 = 1 \\ a' = 1 \\  \\ 3d' = 1 \\ d' = 1/3
 b'+2d' = 0 \\ b' + 2 . 1/3 = 0 \\ b' + 2/3 = 0 \\ b' = -2/3

Logo a matriz inversa de A será:

 A^{-1} =  \left[\begin{array}{cc}1&-2/3\\0&1/3\\\end{array}\right].

Outro método para encontrar matriz inversa consiste nos passos a seguir:

1. Encontre o determinante da matriz A
2. Calcule a matriz dos cofatores de A.
3. Ache a transposta dessa matriz dos cofatores (Matriz adjunta)
4. Pegue a matriz adjunta e divida cada elemento pelo determinante de A

Essa matriz será a inversa de A.


Respondido por mayaravieiraj
2

Podemos afirmar que o principal método para construir uma matriz inversa é mediante uso da matriz identidade.

Como sabemos, existem variadas formas de encontrar uma matriz inversa, mas se optar pela matriz identidade, basta multiplicar qualquer matriz pela sua inversa e com isso, teremos como resultado a matriz identidade. Lembrado de que a condição de existência de uma matriz inversa é que o seu determinante deve ser diferente de zero.

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