Question

COMO FACO UMA MATRIZ INVERSA

Answer 1

Há diferentes formas para se encontrar uma matriz inversa. Um dos métodos é utilizando a matriz identidade. Para isso basta saber que, se multiplicarmos qualquer matriz pela sua inversa, obteremos a matriz identidade. (Observe que uma matriz terá inversa se for quadrada e se seu determinante for diferente de zero). Exemplo

Seja A uma matriz quadrada de ordem 2: 

A = $\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$

Vamos chamar de $A^{-1}$ a matriz inversa de A

$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a'&b'\\c'&d'\\\end{array}\right]$

Por definição, $A . A^{-1} = I$, sendo I, a matris identidade da mesma ordem da matriz em questão, no nosso exemplo será de ordem 2. 

Uma matriz identidade é aquela onde os termos da diagonal principal é igual a 1 e os outros termos são iguais a zero. Então a matriz identidade de ordem 2 será:

$I = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Então, se fizermos  $A . A^{-1} = I$ teremos:

$\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] . \left[\begin{array}{cc}a'&b'\\c'&d'\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Assim, conseguimos determinar a matriz inversa fazendo a multiplicação das duas primeiras matrizes, e igualando à matriz identidade para descobrir a', b', c' e d', que são os coeficientes da matriz identidade. 

Exemplo, amos encontrar a matriz inversa de A = $\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&3\\\end{array}\right]$

Por definição sabemos que se eu fizer:

$\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&3\\\end{array}\right] . \left[\begin{array}{cc}a'&b'\\c'&d'\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

conseguirei encontrar a matriz inversa:

$\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&3\\\end{array}\right] . \left[\begin{array}{cc}a'&b'\\c'&d'\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right] \\ \\ \left[\begin{array}{cc}a'+2c'&b'+2d'\\3c'&3d'\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Vamos igualar os coeficientes:

$\left[\begin{array}{cc}a'+2c'&b'+2d'\\3c'&3d'\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right] \\ \\ a'+2c' = 1 \\ 3c' = 0 \\ \\ c' = 0/3 \\ c' = 0 \\ \\ a'+2c' = 1 \\ a' + 2 . 0 = 1 \\ a' = 1 \\ \\ 3d' = 1 \\ d' = 1/3$
$b'+2d' = 0 \\ b' + 2 . 1/3 = 0 \\ b' + 2/3 = 0 \\ b' = -2/3$

Logo a matriz inversa de A será:

$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}1&-2/3\\0&1/3\\\end{array}\right]$.

Outro método para encontrar matriz inversa consiste nos passos a seguir:

1. Encontre o determinante da matriz A
2. Calcule a matriz dos cofatores de A.
3. Ache a transposta dessa matriz dos cofatores (Matriz adjunta)
4. Pegue a matriz adjunta e divida cada elemento pelo determinante de A

Essa matriz será a inversa de A.

Answer 2

Podemos afirmar que o principal método para construir uma matriz inversa é mediante uso da matriz identidade.

Como sabemos, existem variadas formas de encontrar uma matriz inversa, mas se optar pela matriz identidade, basta multiplicar qualquer matriz pela sua inversa e com isso, teremos como resultado a matriz identidade. Lembrado de que a condição de existência de uma matriz inversa é que o seu determinante deve ser diferente de zero.