Question

Como faço pra resolver a equação $\sqrt{x+11} -3=\sqrt{x-4}$
?

Answer 1

Resolver a equação irracional

     $\mathsf{\sqrt{x+11}-3=\sqrt{x-4}}$


Condição de existência: Os radicandos não podem ser negativos. Portanto, devemos ter como condição

     $\begin{array}{rcl} \mathsf{x+11\ge 0}&\quad\mathsf{e}\quad&\mathsf{x-4\ge 0}\\\\ \mathsf{x\ge -11}&\quad\mathsf{e}\quad&\mathsf{x\ge 4}\\\\ &\mathsf{x\ge 4}& \end{array}$


Para resolver a equação, eleve os dois lados ao quadrado:

     $\mathsf{(\sqrt{x+11}-3)^2=(\sqrt{x-4})^2}$


No lado esquerdo você tem o quadrado de uma diferença. Expanda usando produtos notáveis:

     •  (a − b)² = a² − 2ab + b²


e a equação fica

     $\mathsf{(\sqrt{x+11})^2-2\cdot \sqrt{x+11}\cdot 3+3^2=(\sqrt{x-4})^2}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! x+11-6\cdot \sqrt{x+11}+9=\diagup\!\!\!\! x-4}\\\\ \mathsf{-6\cdot \sqrt{x+11}+9+11=-4}\\\\ \mathsf{-6\cdot \sqrt{x+11}=-4-9-11}\\\\ \mathsf{-6\cdot \sqrt{x+11}=-24}\\\\ \mathsf{\sqrt{x+11}=\dfrac{-24}{-6}}\\\\\\ \mathsf{\sqrt{x+11}=4}$


Eleve os dois lados ao quadrado novamente:

     $\mathsf{(\sqrt{x+11})^2=4^2}\\\\ \mathsf{x+11=16}\\\\ \mathsf{x=16-11}\\\\ \mathsf{x=5}$


Atenção: Como estamos resolvendo uma equação irracional, devemos testar o valor de x encontrado para verificar se é mesmo solução.

Testanto x = 5:

     $\mathsf{\sqrt{5+11}-3}\\\\ \mathsf{=\sqrt{16}-3}\\\\ \mathsf{=4-3}\\\\ \mathsf{=1}\\\\ \mathsf{=\sqrt{1}}\\\\ \mathsf{=\sqrt{5-4}}$


     $\mathsf{\therefore\quad\sqrt{5+11}-3=\sqrt{5-4}}$        ✔


Logo, x = 5 é solução para a equação dada.


Conjunto solução:  S = {5}.


Bons estudos! :-)