Question

Como faço para responder essa questão :ITA-SP Sejam as funções f: R → R e g: A ⊂ R → R, tais que: f(x) = x2 – 9 e (fog)(x) = x – 6, em seus respectivos domínios. Então o domínio A da função g é:

Answer 1

Se $f(x)=x^{2}-9\,,$ então

$f(g(x))=[g(x)]^{2}-9\\ \\ (f\circ g)(x)=[g(x)]^{2}-9~~~~~~\mathbf{(i)}$


Mas, pelo enunciado, temos que

$(f\circ g)(x)=x-6~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Substituindo $\mathbf{(ii)}$ em $\mathbf{(i)},$ temos

$x-6=[g(x)]^{2}-9\\ \\ \left[g(x) \right ]^{2}=x-6+9\\ \\ \left[g(x) \right ]^{2}=x+3\\ \\ g(x)=\pm\sqrt{x+3}$

Então, existem duas possibilidades para a lei da função $g:$

$\begin{array}{rcl} g(x)=-\sqrt{x+3}&~\text{ ou }~&g(x)=\sqrt{x+3} \end{array}$


Em ambos os casos, devemos ter

$x+3\geq 0~\Rightarrow~x\geq -3$

pois o radicando (termo "dentro da raiz quadrada") não pode ser negativo.


Portanto, o domínio de $g$ é

$A=\left\{x \in\mathbb{R}\left|\;x\geq -3\right. \right \}$


ou escrevendo em notação de intervalos,

$A=[-3,\;+\infty).$