Question

Como faço para descobrir se a seguinte função é par ou ímpar?

f : R --> R definida por f(x) = 2sen 3x - cos ((x-pi)/2)

Bem, resolvendo essa função eu sei que resulta em 2sen 3x - sen (x/2).

Mas não entendo bem o que devo fazer para descobrir se essa função é par ou ímpar. Alguém poderia me ajudar?

Answer 1

Para classificar uma função como par ou ímpar, primeiramente devemos garantir que o domínio seja simétrico, isto é

Para todo $x$ do domínio, $-x$ também pertence ao domínio.

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A função em questão é

$f(x)=2\,\mathrm{sen\,}3x-\cos\!\left(\dfrac{x-\pi}{2} \right )$

que está definida em todo o $\mathbb{R}.$ Logo, o domínio é simétrico.

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Para um $x$ qualquer do domínio, vamos avaliar $f(-x):$

$f(-x)=2\,\mathrm{sen}(3\cdot (-x))-\cos\!\left(\dfrac{-x-\pi}{2} \right )\\\\\\ f(-x)=2\,\mathrm{sen}(-3x)-\cos\!\left(-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{2} \right )\\\\\\ f(-x)=2\,\mathrm{sen}(-3x)-\mathrm{sen}\!\left(-\dfrac{x}{2}\right )~~~~~~\mathbf{(i)}$


A função seno é ímpar, pois para qualquer arco $\alpha\in\mathbb{R}$

$\mathrm{sen\,}(-\alpha)--\mathrm{sen\,}\alpha$


Voltando a $\mathbf{(i)},$ temos então que

$f(-x)=-2\,\mathrm{sen\,}3x-\left[-\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right )\right]\\\\\\ f(-x)=-2\,\mathrm{sen\,}3x+\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right )\\\\\\ f(-x)=-\left[2\,\mathrm{sen\,}3x-\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right ) \right ]\\\\\\ f(-x)=-\left[2\,\mathrm{sen\,}3x-\cos\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{2} \right ) \right ]\\\\\\ f(-x)=-\left[2\,\mathrm{sen\,}3x-\cos\left(\dfrac{x-\pi}{2} \right)\right]\\\\\\ f(-x)=-f(x)\\\\\\ \therefore~~f\text{ \'e \'impar.}$