Question

Como faco para derivar uma fracao pela definicao?
x-1/x-2?

Answer 1

Olá

Derivada pela definição

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$


$\lim_{h \to 0} \frac{ \frac{x-1+h}{x-2+h}- \frac{x-1}{x-2} }{h} \\ \\ Tira~o~mmc \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{(x-1+h)(x-2)-(x-1)(x-2+h)}{(x-2+h)(x-2)} }{h} \\ \\ Faz~a~distributiva \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{(-3x+xh+x^2-2h+2)-(x^2+xh-3x-h+2)}{(x-2+h)(x-2)} }{h} \\ \\ Distruibui~o ~sinal~e~simplifica~os~termos~em~comum$

$\mathtt{\lim_{h \to 0} \frac{ \frac{\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!\!-3x+\diagup\!\!\!\!\!xh+\diagup\!\!\!\!x^2-2h+\diagup\!\!\!\!2-\diagup\!\!\!\!x^2-\diagup\!\!\!\!\!xh+\diagup\!\!\!\!3x+h-\diagup\!\!\!\!2}{(x-2+h)(x-2)} }{h}} \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{-2h+h}{(x-2+h)(x-2)} }{h} \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{-h}{(x-2+h)(x-2)} }{h} \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{-\diagup\!\!\!\!h}{(x-2+h)(x-2)}\cdot \frac{1}{\diagup\!\!\!\!h} \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{-1}{(x-2+h)(x-2)}$


$como~h~tende~a~zero~entao~fica \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{-1}{(x-2)(x-2)} \\ \\ Podemos~reescrever~o ~denominador~como~(x-2)^2 \\ \\ Entao \\ \\ \boxed{\lim_{h \to 0} \frac{-1}{(x-2)^2}}$