Question

como eu poderia determinar o vertice V(Xv,Yv) da parábola sem usar as fórmulas para encontrar os vertices? Demonstre utilizando a equação y = ax + bx + c com a≠0​

Answer 1

Para calcular o vértice do gráfico da função podemos usar a noção de função derivada, uma vez que os zeros da primeira derivada de uma função podem coincidir com os máximos ou mínimos da função original.

Para nos ajudar a resolver esta questão, temos várias regras de derivação, das quais devemos saber pelo menos as seguintes:

Sejam  $a,b\in\mathbb{R}$  e  $u$  e  $v$  expressões em x:

• $a'=0$

• $(ax^b)'=a\times b\times x^{b-1}$

• $(u+v)'=u'+v'$

• $(u\times v)'=u'\times v+u\times v'$

• $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}$

• $(u^a)'=a\times u^{a-1}\times u'$

• $(e^u)'=u'\times e^u$

• $(\ln\;u)'=\dfrac{u'}{u}$

• $(\log_a u)'=\dfrac{u'}{u\times \ln\;a}$

• $(\sin u)'=u'\times \cos u$

• $(\cos u)'=-u'\times \sin u$

• $(\tan u)'=\dfrac{u'}{\cos^2 u}$

Com estas propiedades em mente, passemos à resolução do exercício.

Seja f a função dada pelo enunciado:  $f(x)=ax^2+bx+c$

Chamemos a função derivada de f por f' :

    $f'(x)=(ax^2+bx+c)'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=(ax^2)'+(bx)'+(c)'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=2ax+b+0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=2ax+b$

    $f'(x)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow2ax+b=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow2ax=-b\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}$

Dependendo do sinal do coeficiente a, este valor de x será um máximo de f (para a < 0) ou um mínimo de f (para a > 0), ou seja, representa a abcissa do vértice da parábola.

Para achar as coordenadas do vértice falta-nos encontrar a sua ordenada:

    $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2+b\left(-\dfrac{b}{2a}\right)+c\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=a\times\dfrac{b^2}{(2a)^2}-\left(\dfrac{b\times b}{2a}\right)+c\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=\dfrac{a\times b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{2a}+c\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=\dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{b^2\times2}{2a\times2}+\dfrac{c\times4a}{4a}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=\dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{2b^2}{4a}+\dfrac{4ac}{4a}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=\dfrac{b^2-2b^2+4ac}{4a}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}$

Podes ainda apresentar de outra maneira, sabendo que  $\Delta=b^2-4ac$ :

$\Leftrightarrow f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=\dfrac{-(b^2-4ac)}{4a}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=-\dfrac{\Delta}{4a}$

Assim conclui-se que o vértice da parábola é dado por:

$(x\;;\;y)=\left(-\dfrac{b}{2a}\;;\;\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\right)$

Podes ver mais exercícios sobre vértices de funções em:

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