Question

como eu faria essa conta
n!
_____= 42
(n-2)!

Answer 1

    n!
———— = 42
(n – 2)!

 n(n – 1)(n – 2)!
———————— = 42
      (n – 2)!

n(n – 1) = 42         onde n é natural ≥ 2


Há mais de uma forma para resolver esta equação:

n(n – 1) = 42


Forma 1:

n  e  (n – 1)  são dois números naturais consecutivos, cujo produto é 42, sendo n o maior deles.


Então, 42 é múltiplo de n, e é múltiplo de (n – 1). Podemos verificar no conjunto dos divisores de 42 quais são naturais consecutivos:

D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

•  1 e 2:    1 × 2 = 2 ≠ 42           $(\diagup\!\!\!\!\!\diagdown)$

•  2 e 3:     2 × 3 = 6 ≠ 42          $(\diagup\!\!\!\!\!\diagdown)$

•  6 e 7:     6 × 7 = 42                $(\checkmark)$


Então os números procurados são 6 e 7.

n – 1 = 6

n = 7    <———   esta é a solução para a equação.

__________

Forma 2:

n(n – 1) = 42

n² – n – 42 = 0        (resolver essa equação do 2º grau)


Vou usar fatoração por agrupamento.  Subtraia e some 6n ao lado esquerdo:

n² – n – 6n + 6n – 42 = 0

n² – 7n + 6n – 42 = 0

n(n – 7) + 6(n – 7) = 0

(n – 7)(n + 6) = 0

n – 7 = 0    ou     n + 6 = 0

n = 7    ou     n = – 6   (não serve, pois n é natural)


Logo, a solução é

n = 7


Conjunto solução: S = {7}


Bons estudos! :-)