Question

Como eu faço para resolver uma potência cujo a base e o expoente são negativos? (os dois são negativos)

Answer 1

Uma potência de número negativo pode ser generalizada, com a e b números reais, pela inversão do numerador pelo denominador da base, seguida da inversão do sinal do expoente. Veja:

$\boxed{a ^ {-b} = (\tfrac{1}{a})^b}$

No caso em que a base também é um número negativo, o procedimento não será diferente. Acontece que quando a base é negativa, devemos ter certo cuidado com relação à presença ou não dos parênteses. Observe que podemos escrever quatro diferentes exemplos de potências negativas com bases negativas:

$\textsf{Caso 1: }-2^{-2} = -(\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4}\\\\\textsf{Caso 2: }-2^{-3} = -(\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$

ou

$\textsf{Caso 3: }(-2)^{-2} = (\frac{1}{(-2)})^2 = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} \\\\\textsf{Caso 4: }(-2)^{-3} = (\frac{1}{(-2)})^3 = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8}$

Note que, nos casos 1 e 2, quando o número é negativo e não existem parênteses na base, o resultado nada mais é que a potência calculada com a colocação posterior do sinal de menos na frente.

Já nos outros casos 3 e 4, o parênteses foi útil para indicar que o sinal de menos acompanha o número após a inversão do numerador pelo denominador. Isso significa que, no fim das contas, tivemos que resolver (-2)² ou (-2)³. Nada assustador quando conhecemos as seguintes regras práticas:

1. Se o número que está no expoente for par, o resultado da exponenciação será sempre positivo;
2. Se o número que está no expoente for ímpar, o sinal do resultado da potência será o mesmo sinal da base.

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