Question

Como eu divido esse polinômio do nono grau? Obs: De preferência escrever a resolução em uma folha de papel e explicar . $4x^9+7x^6+4x^3+3/x+1$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

4x⁹ + 7x⁶ + 4x³ + 3 | x + 1

-4x⁹ - 4x⁸ 4x⁸ - 4x⁷ + 4x⁶ + 3x⁵ - 3x⁴ + 3x³ + x² -x + 1

--------------

-4x⁸ + 7x⁶ + 4x³ + 3

+4x⁸ + 4x⁷

---------------

4x⁷ + 7x⁶ + 4x³ + 3

-4x⁷ - 4x⁶

---------------

3x⁶ + 4x³ + 3

-3x⁶ - 3x⁵

--------------

-3x⁵ + 4x³ + 3

+3x⁵ + 3x⁴

----------------

3x⁴ + 4x³ + 3

-3x⁴ - 3x³

------------

x³ + 3

-x³ - x²

----------

-x² + 3

+x² + x

-------------

x + 3

-x - 1

---------

(2)

Q(x) = 4x⁸- 4x⁷ + 4x⁶ + 3x⁵ - 3x⁴ + 3x³ + x² - x + 1

R(x) = 2

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{4x^8-4x^7+4x^6+3x^5-3x^4+3x^3+x^2-x+1,~com~resto~2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos o quociente da divisão do polinômio $4x^9+7x^6+4x^3+3$ por $x+1$, utilizando o algoritmo prático de Briot-Ruffini.

A resto de um polinômio $P(x)$ por $x-\alpha$ é dado por $P(\alpha)$, de acordo com o Teorema de d'Alembert ou Teorema do Resto.

Testando o valor $\alpha=-1$, temos: $P(-1)=4\cdot(-1)^9+7\cdot(-1)^6+4\cdot (-1)^3+3$

Lembre-se que potências de expoente ímpar de números negativos resultam em um número negativo, enquanto potências de expoente par resultado no oposto. Logo,

$P(-1)=-4+7-4+3$

Some os valores

$P(-1)=2$

O algoritmo de Briot-Ruffini consiste basicamente em dispor os coeficientes do polinômio sobre uma linha e repetir o primeiro coeficiente diretamente abaixo dele. Então, o processo começa multiplicando o primeiro coeficiente pelo valor de $\alpha$ e somando ao próximo, até chegarmos ao último coeficiente. Veja:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~4~~~~0~~~~0~~~~7~~~~0~~~0~~~~4~~~~0~~~~0~~~~3}\\~~~~~1~~|~~~~4$

Observe que: Os termos que não aparecem no polinômio devem constar com coeficiente zero no algoritmo.

Iniciando o processo, multiplique $4$ por $(-1)$ e some ao próximo coeficiente. O resultado deve ser colocado abaixo deste coeficiente:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~4~~~~0~~~~0~~~~7~~~~0~~~0~~~~4~~~~0~~~~0~~~~3}\\~~-1~~|~~~~4~-4$

Repita o processo até chegarmos ao termo independente:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~4~~~~0~~~~0~~~~7~~~~0~~~0~~~~4~~~~0~~~~0~~~~3}\\~~-1~~|~~~\boxed{4~-4~~~~4~~~~3~-3~~~3~~~1~-1~~~1}~~~~2$

Os elementos destacados serão os coeficientes do quociente da divisão.

O único problema é que a divisão não é exata. Então, afirmamos que:

A divisão de $4x^9+7x^6+4x^3+3$ por $x+1$ é igual a $\bold{4x^8-4x^7+4x^6+3x^5-3x^4+3x^3+x^2-x+1}$ e tem resto $2$.