Question

Como eu calculo o limite de [sqrt(x²+ax) - sqrt(x²+bx)] com x tendendo a infinito?

Answer 1

Oi Julia

Vamos lá nos conjugados

$\lim_{x \to \infty} <span>\sqrt{x^2+ax}- \sqrt{x^2+bx</span>}$

Vamos usar um pouco de álgebra pra depois aplicarmos o limite:

$\sqrt{x^2+ax}- \sqrt{x^2+bx} \\ \\ \sqrt{x(x+a)}- \sqrt{x(x+b)} \\ \\ \sqrt{x} \sqrt{x+a} - \sqrt{x} \sqrt{x+b} \\ \\ \sqrt{x} ( \sqrt{x+a}- \sqrt{x+b} ) \ \ \ racionalizando \\ \\ \sqrt{x} ( \sqrt{x+a}- \sqrt{x+b} ). \frac{ \sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}}{ \sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}} = \sqrt{x} .\frac{( \sqrt{x+a})^2-(\sqrt{x+b})^2}{ \sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}} \\ \\ \sqrt{x} . \frac{x+a-(x+b)}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}} \\ \\ \sqrt{x} \frac{a-b}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b} }$

$\sqrt{x} \frac{a-b}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b} \ \ \ * \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x} } } \\ \\ \sqrt{x} \frac{a-b}{ \sqrt{x} ( \frac{\sqrt{x+a}}{ \sqrt{x} } +\frac{\sqrt{x+a}}{ \sqrt{x} }) } \\ \\ \frac{a-b}{ \sqrt{ \frac{x+a}{x} } + \sqrt{ \frac{x+b}{x} } } \\ \\ \frac{a-b}{ \sqrt{1+ \frac{a}{x} } + \sqrt{1+ \frac{b}{x} } }$

Aplicando Limite: 

$\lim_{x \to \infty} \frac{a-b}{ \sqrt{1+ \frac{a}{\infty} } + \sqrt{1+ \frac{b}{\infty} } } \\ \\ \lim_{x \to \infty} \frac{a-b}{ \sqrt{1}+ \sqrt{1} } \\ \\ \lim_{x \to \infty} \boxed{ \frac{a-b}{ 2 }}$

Podia ser melhor, mas acho que assim resolve também :)