Question

Como está questão é dificilima ela merece 40 pontos para quem me ajudar a responder eu tentei responder aqui mais não consigo

Answer 1

Olá!

a) Note que quando x se aproxima de zero, tanto pela direita quanto pela esquerda, ele é diferente de zero, isto é, utilizaremos a primeira lei dada para a função. Contudo, esta função contém um módulo! Isto é, temos de considerar, de acordo com a definição de módulo, os casos em que o conteúdo do módulo é positivo e quando ele é negativo. Lembrando da definição de módulo de um número real x: 

$|x|= \left \{ {{x,\;\; \; se \; \; \;x \geqslant 0 } \atop {-x,\; se \; \; x\ \textless \ 0}} \right.$

Primeiro Caso: $x\geqslant 0$   . Ou seja,

$\lim_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim_{x\to 0^+}\left(\dfrac{-(x)}{x}\right) = \lim_{x\to 0+ }{-1} = -1$

Segundo Caso: $x<0$   . Ou seja,

$\lim_{x\to 0^-}{f(x)}=\lim_{x\to 0^-}{\left( \dfrac{-(-x)}{x}\right)}=1$

b) 

$\lim_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim_{x\to 0^+}{|x|} = \lim_{x\to 0^+}{x} = 0 \\ \\ \lim_{x\to 0^-}{f(x)}=\lim_{x\to 0^-}{|x|}=\lim_{x\to 0^-}(-x) = -0=0$


Bons estudos!