Matemática, perguntado por Usuário anônimo, 11 meses atrás

Como encontrar o limite dessa função? (Sem usar L'Hopital) Resposta:4/3.

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por davidjunior17
4
Olá, amigo :)
✩✩✩✩✩
✩✩✩✩✩

 \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} -3 }{\sqrt{x + 16} - 4} }

✦ A princípio, se subsituirmos directamente teremos uma indeterminação, sendo assim temos que transformar a expressão. Primeiramente, pode-se racionalizar o denominador, multiplicando toda a fração pelo conjugado do denominador, portanto teremos,

   \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} -3 }{\sqrt{x + 16} - 4} \cdot \dfrac{ \sqrt{x + 16} + 4}{ \sqrt{x + 16} + 4}}  \\ \\ \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{(\sqrt{x + 9} -3 )\cdot (\sqrt{x + 16}  +  4)}{x + \cancel{16} - \cancel{16}}  }   \\  \\ \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{(\sqrt{x + 9} -3 )\cdot (\sqrt{x + 16}  +  4)}{x}  }

✦ Novamente, multiplique toda a fração pelo conjugado d'um dos factores efectuando o produto no numerador de modo a ter um caso notável, portanto, ter-se-á,

 \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{(\sqrt{x + 9} -3 )\cdot (\sqrt{x + 16}  +  4)}{x}\cdot \dfrac{( \sqrt{x + 9} + 3)}{ \sqrt{x + 9} + 3  }  } \\  \\ \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{(x + \cancel{9} - \cancel{9})\cdot (\sqrt{x + 16}  +  4)}{x(\sqrt{x + 9} + 3)}}   \\  \\ \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{x \cdot (\sqrt{x + 16}  +  4)}{x(\sqrt{x + 9} + 3)}}

✦ Cancele o termo semelhante,

  \mathsf{\lim_{ x \to 0} \dfrac{\cancel{x} \cdot (\sqrt{x + 16}  +  4)}{ \cancel{x}(\sqrt{x + 9} + 3)}} \\ \\  \mathsf{\lim_{  x\to 0} \dfrac{ \sqrt{x + 16}  +  4}{ \sqrt{x + 9} + 3}} \\

✦ Agora, podemos avaliar o limite, substituindo por x = 0, sendo assim ter-se-á,

  \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} -3 }{\sqrt{x + 16} - 4} } = \mathsf{ \dfrac{ \sqrt{0 + 16}  +  4}{ \sqrt{0 + 9} + 3}} \\ \\ \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} -3 }{\sqrt{x + 16} - 4} } = \mathsf{ \dfrac{ \sqrt{16}  +  4}{ \sqrt{9} + 3}} \\ \\ \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} -3 }{\sqrt{x + 16} - 4} } = \mathsf{ \dfrac{ 4  +  4}{ 3 + 3}} \\ \\ \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} -3 }{\sqrt{x + 16} - 4} } = \mathsf{ \dfrac{ 8}{ 6}} \\

 \boxed{\boxed{\mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} -3 }{\sqrt{x + 16} - 4} } = \mathsf{\dfrac{ 4}{ 3}}}}}




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