Question

Como encontrar o limite dessa função? (Sem usar L'Hopital)

Answer 1

Olá, amigo :)
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$\mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} -3 }{\sqrt{x + 16} - 4} }$

✦ A princípio, se substituirmos directamente teremos uma indeterminação, sendo assim temos que transformar a expressão. Bom, primeiramente, pode-se racionalizar o denominador, multiplicando toda a fração pelo conjugado do denominador, portanto teremos,

$\mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} -3 }{\sqrt{x + 16} - 4} \cdot \dfrac{ \sqrt{x + 16} + 4}{ \sqrt{x + 16} + 4}} \\ \\ \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{(\sqrt{x + 9} -3 )\cdot (\sqrt{x + 16} + 4)}{x + \cancel{16} - \cancel{16}} } \\ \\ \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{(\sqrt{x + 9} -3 )\cdot (\sqrt{x + 16} + 4)}{x} }$

✦ Novamente, multiplique toda a fração pelo conjugado d'um dos factores efectuando o produto no numerador de modo a ter um caso notável, portanto, ter-se-á,

$\mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{(\sqrt{x + 9} -3 )\cdot (\sqrt{x + 16} + 4)}{x}\cdot \dfrac{( \sqrt{x + 9} + 3)}{ \sqrt{x + 9} + 3 } } \\ \\ \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{(x + \cancel{9} - \cancel{9})\cdot (\sqrt{x + 16} + 4)}{x(\sqrt{x + 9} + 3)}} \\ \\ \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{x \cdot (\sqrt{x + 16} + 4)}{x(\sqrt{x + 9} + 3)}}$

✦ Cancele o termo semelhante,

$\mathsf{\lim_{ x \to 0} \dfrac{\cancel{x} \cdot (\sqrt{x + 16} + 4)}{ \cancel{x}(\sqrt{x + 9} + 3)}} \\ \\ \mathsf{\lim_{ x\to 0} \dfrac{ \sqrt{x + 16} + 4}{ \sqrt{x + 9} + 3}}$

✦ Agora, podemos avaliar o limite, substituindo por x = 0, sendo assim ter-se-á,

$\mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} -3 }{\sqrt{x + 16} - 4} } = \mathsf{ \dfrac{ \sqrt{0 + 16} + 4}{ \sqrt{0 + 9} + 3}} \\ \\ \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} -3 }{\sqrt{x + 16} - 4} } = \mathsf{ \dfrac{ \sqrt{16} + 4}{ \sqrt{9} + 3}} \\ \\ \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} -3 }{\sqrt{x + 16} - 4} } = \mathsf{ \dfrac{ 4 + 4}{ 3 + 3}} \\ \\ \mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} -3 }{\sqrt{x + 16} - 4} } = \mathsf{ \dfrac{ 8}{ 6}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} -3 }{\sqrt{x + 16} - 4} } = \mathsf{\dfrac{ 4}{ 3}}}}}$



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