Matemática, perguntado por DuarteBianca0, 10 meses atrás

Como encontrar o conjunto das partes da união? Considerando um conjunto A com p elementos, e um conjunto B com q elementos, qual será a quantidade de subconjuntos não vazios de A U B?
a) nAUB = 2^{p+q - 2}
b) nAUB = 2^{p-1} + 2^{q-1}
c) Nenhuma das anteriores. Nesse caso, demonstre qual a forma correta.


talessilvaamarp9tcph: Usei o hashtag como notação para número de elementos

Soluções para a tarefa

Respondido por talessilvaamarp9tcph
8
  • Nenhuma das alternativas está correta.

  • Já que a questão não menciona o número de elementos da intercessão entre A e B, vou separar em dois casos:

  1. Considerando \#A \cap B=0, ou seja, eles não tem nenhum elemento em comum:

  • Todos os elementos da união tem duas possibilidades, ser ou não ser um elemento do subconjunto. Pelo P.F.C(Princípio Fundamental da Contagem):

\#A\cup B =  \begin{matrix} p+q \\ \overbrace{ 2\cdot2\cdots\cdot2 } \end{matrix} \\\\\\\#A\cup B  = 2^{p+q}

  • A questão pede para retirar aqueles vazios, ou seja, todos os elementos escolhem a opção de não ser(1 possibilidade apenas).
  • P.F.C:

N_{vazios} =  \begin{matrix} p+q \\ \overbrace{ 1\cdot1\cdots\cdot1 } \end{matrix} \\\\\\\#N_{vazios}   = 1^{p+q}=1

  • Retirando todos os conjuntos vazios:

nA\cup B = 2^{n+p}-1

  • Segundo caso:

  • Considerando \#A \cap B \neq0, ou seja, eles têm elementos em comum:

  • Esse caso é mais complicado , já que o número de elementos da  união não é a soma do número de elementos dos dois conjuntos, temos que corrigir subtraindo pelo número de elementos da intercessão entre os dois conjuntos:

\#A\cup B \neq \#A +\# B\\\\\#A\cup B = \#A + \#B - \#(A\cap B)\\\\\#A\cup B = p+q  - \#(A\cap B)

  • Seguindo o mesmo raciocínio utilizado anteriormente:

nA\cup B = 2^{p+q-\#(A\cap B)}-1

  • Essa seria a fórmula geral.

  • Veja mais:

https://brainly.com.br/tarefa/20275616

Anexos:

DuarteBianca0: Resposta incrível, muito obrigada! Ajudou bastante
Respondido por vitoria857958
2

Resposta:

Nenhuma das alternativas está correta.

Já que a questão não menciona o número de elementos da intercessão entre A e B, vou separar em dois casos:

Considerando \#A \cap B=0#A∩B=0 , ou seja, eles não tem nenhum elemento em comum:

Todos os elementos da união tem duas possibilidades, ser ou não ser um elemento do subconjunto. Pelo P.F.C(Princípio Fundamental da Contagem):

\begin{gathered}\#A\cup B = \begin{matrix} p+q \\ \overbrace{ 2\cdot2\cdots\cdot2 } \end{matrix} \\\\\\\#A\cup B = 2^{p+q}\end{gathered}

#A∪B=

p+q

2⋅2⋯⋅2

#A∪B=2

p+q

A questão pede para retirar aqueles vazios, ou seja, todos os elementos escolhem a opção de não ser(1 possibilidade apenas).

P.F.C:

\begin{gathered}N_{vazios} = \begin{matrix} p+q \\ \overbrace{ 1\cdot1\cdots\cdot1 } \end{matrix} \\\\\\\#N_{vazios} = 1^{p+q}=1\end{gathered}

N

vazios

=

p+q

1⋅1⋯⋅1

#N

vazios

=1

p+q

=1

Retirando todos os conjuntos vazios:

nA\cup B = 2^{n+p}-1nA∪B=2

n+p

−1

Segundo caso:

Considerando \#A \cap B \neq0#A∩B

=0 , ou seja, eles têm elementos em comum:

Esse caso é mais complicado , já que o número de elementos da união não é a soma do número de elementos dos dois conjuntos, temos que corrigir subtraindo pelo número de elementos da intercessão entre os dois conjuntos:

\begin{gathered}\#A\cup B \neq \#A +\# B\\\\\#A\cup B = \#A + \#B - \#(A\cap B)\\\\\#A\cup B = p+q - \#(A\cap B)\end{gathered}

#A∪B

=#A+#B

#A∪B=#A+#B−#(A∩B)

#A∪B=p+q−#(A∩B)

Seguindo o mesmo raciocínio utilizado anteriormente:

nA\cup B = 2^{p+q-\#(A\cap B)}-1nA∪B=2

p+q−#(A∩B)

−1

Essa seria a fórmula geral.

Veja mais:

https://brainly.com.br/tarefa/20275616

Explicação passo-a-passo:

espero ter ajudado

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