Question

como encontrar a lei de formação da função quadrática y=ax+bx+c que passa pelos pontos (0,1),(2,1) e tem coordenadas do vértice v =( 1,0) de concavidade para cima

Answer 1

Olá!

    Sabemos que a função é quadrática, isto é, é da forma   $y=ax^2+bx+c$  , que passa por (0,1) e (2,1), e tem vértice de coordenadas (1,0) com concavidade para cima.

    A concavidade nos diz o sinal do coeficiente  $a$  , que é positivo.
    Existe uma formulinha para as coordenadas do vértice V, dada por:

    $V=\left(\dfrac{-b}{2a},\dfrac{-\Delta}{4a}\right).$

  Substituindo os pontos dados na função, devemos ter:

Para o ponto (0,1), x = 0 e y = 1:

$1 = a\cdot 0^2 + b\cdot 0 + c\Rightarrow c = 1$

Para o ponto (2,1), x = 2 e y = 1:

$1 = a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + c \;\text{(j\'a vimos que c = 1)}\Rightarrow 1 = 4a+2b+1\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 4a+2b = 0\Rightarrow b = -2a$


    Agora lembremos da fórmula do vértice e que temos a coordenada dele: V = (1,0). Ou seja, devemos ter que 

$\dfrac{-\Delta}{4a} = 0\Rightarrow -\Delta = 0\Rightarrow \Delta = 0\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow b^2-4ac = 0\overset{b=-2a}{\Longrightarrow} 4a^2-4ac = 0\Rightarrow 4a(a-c)=0\overset{a\neq 0}{\Rightarrow} a-c = 0\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow a = c\overset{c=1}{\Rightarrow} a = 1.$

    Bom, já temos a = 1 e c = 1. Logo, como  $b = -2a$  segue que  $b = -2.$


    Portanto, a função é dada por 

$y=x^2-2x+1$


Bons estudos!