Question

Como é que faz a Regra de Cramer

Answer 1

Olá Gabriela,

considere o sistema linear com três soluções, S={(2,1,3)}:

$\begin{cases}x+y+z=6\\ x-y+z=4\\ x+y-z=0\end{cases}$

Aplicando a regra de Cramer, que consiste em formar determinantes a partir do sistema dado, no caso 4 determinantes, onde os três últimos são chamados determinantes secundários e o primeiro de determinante principal. Vamos ao determinante principal, para isso, use os coeficientes das incógnitas, que estão à esquerda do sinal da igualdade e aplique a regra de Sarruz:

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}1&1\\1&-1\\1&1\end{array}\right\\\\\\ \Delta=1+1+1+1-1+1\\ \Delta=4$

Achado o determinante principal, vamos ao determinante de x, para tanto, use os coeficientes numéricos ou termos independentes (que estão à direita do sinal da igualdade), em lugar das variáveis x:

$\Delta_x=\left|\begin{array}{ccc}6&1&1\\4&-1&1\\0&1&-1\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}6&1\\4&-1\\0&1\end{array}\right \\\\\\ \Delta_x=6+0+4-0-6+4\\ \Delta_x=8$

Usaremos o mesmo processo para os determinantes y e z, lembrando que ao invés de usar as variáveis y e z, tomaremos os coeficientes numéricos ou termos independentes:

$\Delta_y=\left|\begin{array}{ccc}1&6&1\\1&4&1\\1&0&-1\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}1&6\\1&4\\1&0\end{array}\right \\\\\\ \Delta_y=-4+6+0-4-0+6\\ \Delta_y=4$

__________________

$\Delta_z= \left|\begin{array}{ccc}1&1&6\\1&-1&4\\1&1&0\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}1&1\\1&-1\\1&1\end{array}\right\\\\\\ \Delta_z=0+4+6+6-4-0\\ \Delta_z=12$

Agora, devemos achar o valor de cada incógnita, para tanto, divida cada determinante correspondente às variáveis pelo determinante principal:

$x= \dfrac{\Delta_x}{\Delta}~\to~x= \dfrac{8}{4}~\to~x=2\\\\\\ y= \dfrac{\Delta_y}{\Delta}~\to~y= \dfrac{4}{4}~\to~y=1\\\\\\ z= \dfrac{\Delta_z}{\Delta}~\to~z= \dfrac{12}{4}~\to~z=3$

Pronto, o sistema foi resolvido, basta escrever a sua solução:

$\boxed{S_{x,y,z} =\{(2,~1,~3)\}}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))