Matemática, perguntado por edvaldoestevao05, 4 meses atrás

como devo achar o zero da função y=2x³-3x²

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após calcular as raízes da função cúbica, concluímos que seus valores são respectivamente:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf x' = 0,\:\:\:x'' = 0\:\:\:e\:\:\:x''' = \frac{3}{2}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

OBSERVAÇÃO 1: Os zeros de toda e qualquer função polinomial são iguais às suas raízes, isto é, são os valores das abscissas dos pontos pertencentes ao gráfico da função cujas ordenadas são nulas.

OBSERVAÇÃO 2: O número de raízes de uma fução será sempre igual ao grau maximo do polinômio que originou a respectiva função. Portanto, toda função cúbica sempre terá 3 raízes.

Sabendo que a função cúbica, em sua forma geral, pode ser montada da seguinte forma:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d,\:\:\:a\neq0\end{gathered}$}$

Seja a função cúbica:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = 2x^{3} - 3x^{2}\end{gathered}$}$

Organizando a função, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = 2x^{3} - 3x^{2}\end{gathered}$}$

Cujos coeficientes são:

$\Large\begin{cases} a = 2\\b = -3\\c = 0\\d = 0\end{cases}$

Como o termo independente - coeficiente de "d" - da função é igual a "0", isto significa que uma das raízes da referida função é igual a "0", isto é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x' = 0\end{gathered}$}$

Desta forma, podemos dividir o polinômio que representa a função por "x". neste caso temos:

$\Large\begin{array}{r|l}2x^{3}-3x^{2} &\kern-5pt\underline{~~~~~ x~~~ \quad}\\\underline{-2x^{3}\,}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:& 2x^{2}-3x\\0 - 3x^{2}\:\\\underline{~3x^{2}}\:\\(0)\:\: &\end{array}$

Após realizar a divisão obtemos como quociente o seguinte polinômio:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Q(x) = 2x^{2} - 3x\end{gathered}$}$

Calculando as raízes desta equação, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^{2} - 4\cdot2\cdot0}}{2\cdot2}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{3\pm\sqrt{9}}{4}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{3\pm3}{4}\end{gathered}$}$

Obtendo as raízes, temos:

$\LARGE\begin{cases} x'' = \frac{3 - 3}{4} = 0\\x''' = \frac{3 + 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\end{cases}$

✅ Portanto, as raízes são:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x' = 0,\:\:\:x'' = 0\:\:\:e\:\:\:x''' = \frac{3}{2}\end{gathered}$}$

Observe que nesta função existe uma raiz de multiplicidade "2" que é a raiz de valor "0" e uma raiz de multiplicidade "1" que é a raiz cujo valor é "3/2".

$\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}$