Question

Como determinar o conjunto solução de uma equação modular?
Ex:|3x+2|=x+1.

Answer 1

$\left|3x+2 \right|=x+1$


Como o módulo de qualquer número real nunca pode ser negativo, 
temos a seguinte restrição:

$x+1\geq 0\\ \\ x \geq -1$


Voltando à equação, temos

$\left|3x+2 \right|=x+1\\ \\ 3x+2=\pm\left(x+1 \right )\\ \\ 3x+2=x+1\;\;\text{ ou }\;\;3x+2=-\left(x+1 \right )$


Temos que resolver as duas equações acima e verificar se as soluções satisfazem a restrição inicial:

$\bullet\;\;3x+2=x+1\\ \\ 3x-x=1-2\\ \\ 2x=-1\\ \\ x=-\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ \bullet\;\;3x+2=-\left(x+1 \right )\\ \\ 3x+2=-x-1\\ \\ 3x+x=-1-2\\ \\ 4x=-3\\ \\ x=-\dfrac{3}{4}$


As duas soluções são menores ou iguais que $-1$. Logo, as soluções são

$x=-\dfrac{1}{2}\;\;\text{ ou }\;\;x=-\dfrac{3}{4}$