Question

Como determinar a condição de existencia da equação 2/x2-1 - x/x-1=2 por favor me ajudem

Answer 1

Vamos lá.

Murilo, pelo que estamos entendendo, você quer que exibamos as condições de existência e quer também encontrar as raízes da equação abaixo, respeitando as condições de existência que deverão ser encontradas antes.
Então vamos ver. Temos:

2/(x²-1) - x/(x-1) = 2

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos ver as condições de existência da função acima.
Note que denominador nenhum poderá ser zero. Então deveremos impor que cada um deles (que tenham incógnitas) deverão ser DIFERENTES de zero.
Assim, imporemos isto:

x² - 1 ≠ 0 ---> x² ≠ 1 ---> x ≠ ±√(1) ---> x ≠ ± 1 ---> x ≠ -1 e x ≠ 1
e
x-1 ≠ 0 ---> x ≠ 1

Note que logo na primeira hipótese, já vimos que  "x" deverá ser DIFERENTE de "-1" e de "1". Em razão disso, fica sem efeito a segunda condição que colocamos aí em cima de que x-1 ≠ 0, pois já vimos que ela já foi absorvida pela primeira condição que colocamos aí em cima (de que x ≠ -1 e x ≠ 1).
Assim, a condição de existência da expressão dada será:

x ≠ -1 e x = 1.

ii) Agora vamos encontrar as raízes da equação dada, que é esta:

2/(x²-1) - x/(x-1) = 2 ---- note "x²-1 = (x+1)*(x-1)". Então vamos substituir, ficando assim:

2/(x+1)*(x-1) - x/(x-1) = 2 --- mmc, no 1º membro = (x+1)*(x-1). Assim, utilizando-o só no 1º membro, teremos [lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

[1*2 - (x+1)*x]/(x+1)*(x-1) = 2 ---- efetuando os produtos indicados no numerador do 1º membro,  temos:

[2 - (x²+x)]/(x+1)*(x-1) = 2 --- retirando-se os parênteses do numerador do 1º membro, ficaremos assim:

[2 - x² - x]/(x+1)*(x-1) = 2 --- vamos ordenar o numerador do 1º membro, ficando:
[-x² - x + 2]/(x+1)*(x-1) = 2 --- note que já poderemos multiplicar em cruz, pois já sabemos que x ≠ -1 e x ≠ 1. Já sabendo disso, então se multiplicarmos em cruz não estaremos multiplicando por zero. Então vamos fazer a multiplicação em cruz, ficando assim:

- x² - x + 2 = 2*(x+1)*(x-1) ---- agora vamos voltar (x+1)*(x-1) a ser igual a "x²-1". Assim, fazendo essa substituição, teremos;

- x² - x + 2 = 2*(x²-1) ---- efetuando este produto do 2º membro, temos:
- x² - x + 2 = 2x² - 2 ---- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, com o que ficaremos assim:

0 = 2x² - 2 + x² + x - 2 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos;
0 = 3x² + x - 4 --- ou, invertendo-se, teremos;
3x² + x - 4 = 0 ---- vamos aplicar a fórmula de Bháskara, que é esta:

x = [-b ± √(Δ)]2a ---- veja que os coeficientes e o Δ da sua questão são estes:

a = 3 ----- (é o coeficiente de x²)
b = 1 ----- (é o coeficiente de x)
c = - 4 --- (é o coeficiente do termo independente).
Δ = b²-4ac = 1² - 4*3*(-4) = 1 + 48 = 49.

Fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:

x = [-1 ± √(49)]/2*3
x = [-1 ± √(49)]/6 ---- como √(49) = 7, teremos:
x = [-1 ± 7]/6 ---- daqui você já conclui que:

x' = (-1-7)/6 = (-8)/6 = - 4/3 (após simplificarmos numerador e denominador por "2"). Raiz válida, pois atende às condições de existência.

x'' = (-1+7)/6 = (6)/6 = 1 <-- raiz INVÁLIDA, pois não atende às condições de existência.

Assim, tomando-se apenas a raiz válida (a única que atendeu às condições de existência), teremos:

x = - 4/3 <--- Esta é a resposta.

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {-4/3}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.