Question

Como desenvolvo este exercício?
Um grupo de jovens participava de uma dinâmica na empresa em que trabalham. Em certo momento, foi solicitado a cada uma deles que escrevesse um bilhete para os demais. No final, o grupo tinha escrito um total de 20 bilhetes. Quantos jovens havia no grupo?

Answer 1

x= nº pessoas
x- 1 = nº bilhetes escritos por cada pessoa ( ja que cada uma não escreve pra ela mesma)
o nº de pessoas vezes o nº de bilhetes = 20
x .(x- 1 ) = 20
x² - x = 20
x² - x - 20 =0      raizes da equacao
1 +/- √1 - 4 . 1 . -20  /2
1 -/+ √81 /2
1+/-9  /2
1+9  /2 = 10/2  ⇒5 
1-9  /2 = -8/2 ⇒ -4  (o nº de pessoas nao pode ser negativo) 
entao 5 jovens escreveram cada um 4 bilhetes

Answer 2

Pense num grupo de 3 pessoas A, B e C:
'A' escreverá bilhete para B e C (2 bilhetes)
'B' escreverá bilhete para A e C (2 bilhetes)
'C' escreverá bilhete para A e B (2 bilhetes)

Num total de 3 . 2 = 6 bilhetes

Agora pense num grupo de 4 pessoas A, B, C e D:
'A' escreverá bilhete para B, C e D (3 bilhetes)
'B' escreverá bilhete para A, C e D (3 bilhetes)
'C' escreverá bilhete para A, B e D (3 bilhetes)
'D' escreverá bilhete para A, B e C (3 bilhetes)

Num total de 3 . 4 = 12 bilhetes

Podemos resolver esse exercício de 2 maneiras: percebendo que, em um grupo de 'n' pessoas, cada pessoa escreve (n - 1) bilhetes, ou pensando por análise combinatória
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Se pensarmos que cada pessoa em um grupo de 'n' pessoas escreverá (n - 1) bilhetes, temos que o total de bilhetes será n(n - 1)

$n(n-1)=20\\n^{2}-n=20\\n^{2}-n-20=0\\\\S=-b/a=-(-1)/1=1\\P=c/a=-20/1=-20$

Raízes: 2 números que quando somados dão 1 e quando multiplicados dão -20

$n'=5\\n''=-4$

Como n é positivo, o número de pessoas no grupo é 5