Question

como descobrir o valor de y' (y linha) e y'' (y duas linhas) mentalmente, como exemplo nesta equação $y^{2}+12y-27=0$

Answer 1

você deve fazer a primeira derivada para y' e a segunda derivada para y''.

y'=2y+12
y"=2

Answer 2

Uma dica rápida !
a = 1
b = -2
c = -3
Quando você tiver uma equação do tipo x²- 2x -3 ,onde não tem nenhum número na frente do x²,ou seja, x² sozinho, você faz assim :
Pensa em dois números que mutiplicados resulta em -3 e que ao mesmo tempo somando resulta em 2.
Bom,se a gente pensar um pouco,vai ver que são : 3 e 1
Pois , 3 * (-1) = - 3  e 3 - 1 = 2
Pronto,não precisou de nehuma fórmula de báskara.
As raízes são : 
x' = 3
x'' = -1
S = {-1,3}
Essas contas devemos fazer de cabeça,mas no começo é um pouco difícil mas com o tempo nos acostumamos. 
Até mais !