Question

Como demonstrar que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo?

Answer 1

Observe a figura em anexo:

$\bullet\;\;$ Considere os pontos os pontos $A,\;B,\;C\text{ e }D$ como sendo vértices de um quadrilátero qualquer.

$\bullet\;\;$ Os pontos $M,\;N,\;P\text{ e }Q$ são os pontos médios dos segmentos $\overline{AB},\;\overline{BC},\;\overline{CD}\;\text{ e }\;\overline{DA},$ respectivamente.


Por abuso de linguagem, vou consider as coordenadas do ponto $X$ como sendo o vetor $\overrightarrow{\mathbf{OX}},$ sendo $O$ a origem do sistema de coordenadas utilizado.

Por exemplo, ao escrever $M,$ na verdade estaremos considerando o vetor $\overrightarrow{\mathbf{OM}}.$


$\bullet\;\;$ Da fórmula para cálculo de ponto médio, temos que

$\left\{ \begin{array}{lc} M=\dfrac{1}{2}\,(A+B)&\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ N=\dfrac{1}{2}\,(B+C)&\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}\\ \\ P=\dfrac{1}{2}\,(C+D)&\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}\\ \\ Q=\dfrac{1}{2}\,(D+A)&\;\;\;\;\;\mathbf{(iv)} \end{array} \right.$


$\bullet\;\;$ Para provarmos que $MNPQ$ é um paralelogramo, basta provarmos que

$\overrightarrow{\mathbf{MN}}\;\text{ e }\;\overrightarrow{\mathbf{QP}}$

são representantes do mesmo vetor:


$\overrightarrow{\mathbf{MN}}=N-M\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\,(B+C)-\dfrac{1}{2}\,(A+B)\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\cdot \left[(B+C)-(A+B) \right ]\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\cdot \left[\diagup\!\!\!\! B+C-A-\diagup\!\!\!\! B \right ]\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\,(C-A)$


Somando e subtraindo o vetor $\overrightarrow{\mathbf{OD}},$ não alteramos o vetor do lado esquerdo:

$\overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\,(C+D-D-A)\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\cdot [(C+D)-(D+A)]\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\dfrac{1}{2}\,(C+D)-\dfrac{1}{2}\,(D+A)\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{MN}}=P-Q\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} \overrightarrow{\mathbf{MN}}=\overrightarrow{\mathbf{QP}} \end{array}}$


como queríamos demonstrar.