como concruir que (-k) x (-n) = kxn para quisquer k e n?
Soluções para a tarefa
Resposta:
abaixo:
Explicação passo a passo:
Teorema: Para todos inteiros k, se k > 0 então k
2 + 2k + 1 é um número composto.
Prova: Suponha que k é um número inteiro tal que k > 0. Se k
2+2k+1 é composto, então k
2+2k+1 = r·s,
para inteiros r e s tal que 1 < r < (k
2 + 2k + 1) e 1 < s < (k
2 + 2k + 1). Já que k
2 + 2k + 1 = r · s e
ambos r e s estão necessariamente entre 1 e k
2 + 2k + 1, então k
2 + 2k + 1 não é primo. Assim, k
2 + 2k + 1
é composto, o que devia ser mostrado.
Resposta:
A partir do ponto
Já que k
2+2k+1 = r ·s e ambos r e s estão necessariamente entre 1 e k
2+2k+1, então k
2+2k+1
não é primo. Assim, k
2 + 2k + 1 é composto, o que devia ser mostrado.
é usada a questão a ser provada. Nesse ponto na prova, não foi mostrado ainda que k
2 + 2k + 1 é um número
composto, o que devia ser provado.
2. Identique o erro na prova do teorema abaixo.
Teorema: A soma de quaisquer dois inteiros pares é igual a 4k para algum inteiro k.
Prova: Suponha que m e n são dois inteiros pares quaisquer. Pela denição de par m = 2k para algum
inteiro k e n = 2k para algum inteiro k. Por substituição, m + n = 2k + 2k = 4k, o que devia ser provado.
Resposta:
O erro na prova é que o mesmo símbolo k é usado para representar dois números diferentes. Ao supor
que m e n são iguais a 2k, temos que m = n e, assim, a prova é válida apenas para o caso onde m = n. Se
m 6= n, a conclusão é, em geral, falsa. Por exemplo, 6 + 4 = 10 mas 10 6= 4k para qualquer inteiro k.
3. Identique o erro na prova do teorema abaixo.
Teorema: Seja n um número inteiro ímpar. Sabe-se que bn/2c = (n − 1)/2.
Prova: Suponha que n é um número inteiro ímpar. Sabe-se que n = 2k + 1 para algum inteiro k. Consequentemente,
2k + 1
2
=
(2k + 1) − 1
2
=
2k
2
= k.
Como n = 2k + 1, temos que k = (n − 1)/2. Assim, por substituição temos que bn/2c = (n − 1)/2.
Esta prova incorreta usa a questão a ser provada. A igualdade b
n
2
c é o que deve ser provado. Ao substituir
2k+ 1 por n nos dois lados da igualdade e assumindo que o resultado é verdadeiro, a prova assume a verdade
da conclusão a ser provada.
Resposta:
Prova correta: Suponha que n é um número inteiro ímpar. Sabe-se que n = 2k + 1 para algum inteiro
k. Consequentemente,
2k + 1
2
=
k +
1
2
= k.
Note que bk +
1
2
c = k pela denição da função chão, já que k é o maior inteiro menor ou igual a k +
1
2
.
Ao substituirmos n por 2k + 1 no lado direito da equação proposta, temos:
(2k + 1) − 1
2
=
2k
2
= k.
Assim, os lados esquerdo e direito da equação a ser provada são idênticos.
1
4. Prove se a seguinte armação é verdadeira ou não. Para todos inteiros n, 4(n
2 +n+ 1)−3n
2
é um quadrado
perfeito.
Resposta:
Prova: Suponha que n seja um número inteiro. Então 4(n
2 + n + 1) − 3n
2 = 4n
2 + 4n + 4 − 3n
2 =
n
2 + 4n + 4 = (n + 2)2
, que é um quadrado perfeito já que n + 2 é um inteiro.
5. Prove se a seguinte armação é verdadeira ou não. Existe um inteiro k tal que k ≥ 4 e 2k
2 −5k + 2 é primo.